《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》重难点专题03：直线与抛物线的位置关系（解析版）

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重难点专题 03：直线与抛物线的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与抛物线的位置关系；抛物线的焦点弦；抛物
线的中点弦；抛物线中的参数范围与最值；抛物线的定点、定值问题；抛物线中的定直线；
抛物线中的向量运算；抛物线的应用
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
一、焦点弦的相关性质：焦点弦
AB
，
A(x1, y1)
,
B(x2, y2)
，焦点
(1) 若 AB 是抛物线 的焦点弦（过焦点的弦），且 ， ，则： ，
。
(2) 若 AB 是抛物线 的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为 α，则 （α≠0）。
(3) 已知直线 AB 是过抛物线 焦点 F ,
(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂
足为直径端点的圆与焦点弦相切。
二、切线方程
图象
y2=2px (p>0)
y2=−2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=−2py (p>0)
切线方程
三．直线与抛物线的位置关系
直线 ，抛物线 ，
　　 ，消 y 得：
（1）当 k=0 时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当 k≠0 时，
Δ＞0，直线 与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0， 直线 与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
四、相交弦 AB 的弦长
或
五．点差法：设交点坐标为 ， ，代入抛物线方程，得
将两式相减，可得 ，
a. 在涉及斜率问题时，
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ， ，
即 ，
同理，对于抛物线 ，若直线 与抛物线相交于 两点，点 是弦 的中点，则有
考点讲解
考点讲解
考点讲解
考点 1：直线与抛物线的位置关系
例1．过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
【答案】C
【详解】由已知，可得
①当直线过点 且与 轴平行时，方程为 ，与抛物线 只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为 ，与抛物线 只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为 ，由 可得，
， ，解得 ，故直线方程 .
所以存在 3条直线 ， ， 满足过点 与抛物线 只有一个公共点.
故选：C.
【方法技巧】
由已知，根据题意，过点 分别从与 轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满
足题意的直线，然后即可做出判断.
【变式训练】
1（多选）．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有
交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知
点 ，直线 l： ，若某直线上存在点 P，使得点 P到点 M的距离比到直线 l的距离小 1，则称该
直线为“最远距离直线”，则（）
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