《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》重难点专题02：直线与双曲线的位置关系（原卷版）

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重难点专题 02：直线与双曲线的位置关系

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与双曲线的位置关系；双曲线的弦长；双曲线的焦点弦；双

曲线的中点弦；双曲线中的参数范围及最值；双曲线中的定点定值问题；双曲线中的定直线问题；双曲线

中的向量问题

3.课堂知识小结

4.考点巩固提升

知识归纳

1. 直线与双曲线的位置关系的判断

设直线 y=kx+b，双曲线联立消去 y得A x 2 + B x+ C =0（a≠0），Δ= B 2－ 4 AC.

若 A=0 即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若Δ >0, 直线与双曲线相交，有两个交点；

若 Δ =0，直线与双曲线相切，有一个交点；

若 Δ <0，直线与双曲线相离，无交点；

直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.弦长问题

设直线 l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为 P1 (x 1 ,y 1 )，P2 (x 2 ,y 2 )，

且由，消去 y→ax 2 +bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 － 4ac 。

a. 相交弦 AB 的弦长

或

考点 1：直线与双曲线的位置关系

例1．若过点的直线与双曲线 :的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为

（）

A．B．C．D．

【方法技巧】

由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合

韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围

【变式训练】

【变式 1】．直线与双曲线的交点坐标为______．

【变式 2】．直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.

【变式 3】．若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.

考点 2：双曲线的弦长

例2．已知双曲线的焦点在轴上，对称中心为坐标原点，焦距为，且过点．

（1）求的方程；

（2）若斜率为 2的直线与交于，两点．且，求．

【方法技巧】

（1）由焦距可以设出焦点坐标，利用双曲线的定义求出实轴的长度，进而可得双曲线的方程；

（2）联立直线与双曲线方程，消去，写出韦达定理，由得出直线的纵截距，再利用弦长

公式求解即可．

【变式训练】

【变式 1】．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点 P在双曲线 C上且，

则的面积为（）

A．3 B．9 C．12 D．16

【变式 2】．过双曲线的右焦点作倾斜角为 30°的直线 l，直线 l与双曲线交于不同的两点

A，B，则 AB 的长为______．

考点 3：双曲线的焦点弦

例3（多选）．设为双曲线 C：的左、右焦点，过的直线交双曲线 C的右支于

P，Q两点，直线 l：为双曲线 C的一条渐近线，则（）

A．B．弦 PQ 长的最小值为 6

C．存在点 P，使得 D．点 P到直线 m：距离的最小值为 1

【方法技巧】

根据双曲线的渐近线即可求出 b，根据焦点弦中通径最短即可判断 B，根据焦点弦的范围可判断 C，根据渐

近线的性质可判断 D.

【变式训练】

【变式 1】．已知双曲线 C：的左右焦点分别是，，过的直线 l与C的左右两支分别交于

A，B两点，且，则　　

A．B．3C．4D．

【变式 2】．分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于

A、B两点，若，则（）

A．2 B．C．4 D．

考点 4：双曲线的中点弦

例4．直线 l交双曲线于 A，B两点，且为 AB 的中点，则 l的斜率为（）

A．4 B．3 C．2 D．1

【方法技巧】

根据给定条件，利用“点差法”求出 l的斜率，再验证作答.

【变式训练】

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