《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》重难点专题02：直线与双曲线的位置关系（解析版）

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重难点专题 02：直线与双曲线的位置关系

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与双曲线的位置关系；双曲线的弦长；双曲线的焦点弦；双

曲线的中点弦；双曲线中的参数范围及最值；双曲线中的定点定值问题；双曲线中的定直线问题；双曲线

中的向量问题

3.课堂知识小结

4.考点巩固提升

知识归纳

1. 直线与双曲线的位置关系的判断

设直线 y=kx+b ，双曲线联立消去 y得A x 2 + B x+ C =0（a≠0），Δ= B 2 －

4 AC 。

若 A=0 即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若Δ >0, 直线与双曲线相交，有两个交点；

若 Δ =0，直线与双曲线相切，有一个交点；

若 Δ <0，直线与双曲线相离，无交点；

直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.弦长问题

设直线 l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为 P1 (x 1 ,y 1 )，P2 (x 2 ,y 2 )，

且由，消去 y→ax 2 +bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 － 4ac 。

a. 相交弦 AB 的弦长

或

考点 1：直线与双曲线的位置关系

例1．若过点的直线与双曲线 :的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为

（）

A．B．C．D．

【答案】D

【详解】由题意可得直线斜率存在，设直线的方程为，

设交点，

联立可得，

由题意可得

解得：，故选：D．

【方法技巧】

由题意设直线的方程，与双曲线方程联立消得关于的方程，根据条件得方程有两个不同的正根，结合

韦达定理列不等式组，从而可求出的取值范围

【变式训练】

【变式 1】．直线与双曲线的交点坐标为______．

【答案】，

【分析】利用题目中的两个曲线方程进行联立，求出交点坐标

【详解】由，消得

即，解得或

代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，

故答案为：，

【变式 2】．直线与双曲线没有交点，则的取值范围为_____.

【答案】

【分析】确定双曲线的渐近线的斜率，由于过原点，要使得与双曲线

没有交点，需满足 k大于或等于的斜率，可得答案.

【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为：，

因为直线过原点且与双曲线没有交点，

故需满足，

故答案为：

【变式 3】．若直线与双曲线始终只有一个公共点，则取值范围是_____________.

【答案】

【分析】联立方程，根据方程根的个数即可求解.

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