《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》重难点专题02 数列前n项和常见的9种求法（解析版）

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考点讲解

重难点专题 02 数列前 n项和常见的 9种求法

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

2. 课堂知识小结

3. 考点巩固提升

知识归纳

(1)公式法：

等差数列

①

Sn=n(a1+an)

2=na1+n(n−1)

等比数列

②

Sn=

{

na1(q=1)

a1(1−qn)

1−q(q≠1)

(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项 . 应掌握以下常见

的裂项：

①

②

③

④

⑤

(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错

位相减法(这也是等比数列前 n项和公式的推导方法) .

(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的

作用求和(这是等差数列前 n项和公式的推导方法) .

(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式

法求和.

（6）分段求和法：如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．

（7）奇偶分析求和法

（8）其它求和法

考点 1：等差数列公式法求前 n项和

例1．已知等差数列中，， .

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和 .

【详解】（1）因为等差数列中，首项为，公差为，

所以其通项公式为；

（2）由（1）可得，数列的前项和 .

【方法技巧】

等差数列

①

Sn=n(a1+an)

2=na1+n(n−1)

【变式训练】

1.（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列的前 n项和为，，，则

（）

A．-110 B．-115 C．110 D．115

【答案】B.

【详解】由题意知，，

得，解得，

所以 .

故选：B

2（2022·河南·模拟预测（文））设等差数列的前 n项和为，， .若对任意的正整数 n，

都有，则整数 k＝（）

A．34 B．35 C．18 D．19

【答案】C

【详解】因为，所以 .

因为，

所以，所以，

故的前 18 项和最小，即 .

故选：C

考点 2：等比数列公式法求前 n项和

例2．已知正项等比数列的前项和为，且， .

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和 .

【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍），

所以， .

（2）由（1）得，所以 .

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

【方法技巧】

等比数列

②

Sn=

{

na1(q=1)

a1(1−qn)

1−q(q≠1)

【变式训练】

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