《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》重难点专题01： 直线与椭圆的位置关系（原卷版）

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重难点专题 01： 直线与椭圆的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与椭圆的位置关系判定；椭圆的弦长；椭圆的焦点弦；椭圆
的中点弦；椭圆中的定点、定值问题；椭圆的定直线；椭圆中的向量问题
3.课堂知识小结
4.考点巩固提升
知识归纳
1.直线与椭圆的位置关系.
设直线
l
：
Ax
+
By
+
C
=0，椭圆
C
：
x2
a2+y2
b2=1
，联立
l
与
C
，消去某一变量(
x
或
y
)得到关于另一个变量的
一元二次方程，此一元二次方程的判别式为 Δ，
则
l
与
C
相离的
⇔
Δ<0；
l
与
C
相切
⇔
Δ=0；
l
与
C
相交于不同两点
⇔
Δ>0.
2.弦长计算
计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为
P
1(
x
1，
y
1)，
P
2(
x
2，
y
2)
⇒
|
P
1
P
2|=
√
(x1−x2)2+( y1−y2)2
=
√
1+k2|x1−x2
|=
√
1+1
k2|y1−y2
|
（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关
系
（推导过程：若点 在直线 上，
则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
或者
。)
3.中点弦问题
关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
考点讲解
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，且
弦AB 的中点为 M(x0，y0)，则
由①－②得 a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－·＝－·.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决
考点 1：直线与椭圆的位置关系判定
例1．椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 在 上，且直线 的斜率为 ，则直线
斜率为（）
A．B．3 C．D．
【方法技巧】
求出 的坐标，进而求出直线 的方程，联立椭圆方程后，求出 点坐标，代入斜率公式，可得答案.
【变式训练】
【变式 1】．（多选）下列曲线中与直线 有交点的是（）
A．B．C．D．
【变式 2】．直线 和曲线 的位置关系为_____.
【变式 3】．椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为______.
考点 2：椭圆的弦长
例2．椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，椭圆 经过点 且长轴长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 1的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求弦长 .
【方法技巧】
（1）先设出椭圆方程，然后由题意可得 ，从而可得椭圆方程，
（2）由题意可得直线 的方程为 ，代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得
结果.
【变式训练】
【变式 1】．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过 且斜率为 1的直线 交椭圆 于
A、 两点，则 等于（）
A．B．C．D．
【变式 2】．斜率为 1的直线 l与椭圆 相交于 A，B两点，则 的最大值为（）
A．2 B．C．D．
考点 3：椭圆的焦点弦
例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段
的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是____.
【方法技巧】
1.明确概念
2.利用焦半径公式把比值表示为 的式子，然后由 得出范围．
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