《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》重难点专题01： 直线与椭圆的位置关系（解析版）

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重难点专题 01： 直线与椭圆的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2.考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与椭圆的位置关系判定；椭圆的弦长；椭圆的焦点弦；椭圆
的中点弦；椭圆中的定点、定值问题；椭圆的定直线；椭圆中的向量问题
3.课堂知识小结
4.考点巩固提升
知识归纳
1.直线与椭圆的位置关系.
设直线 l：Ax+By+C=0，椭圆 C：
x2
a2+y2
b2=1
，联立 l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的
一元二次方程，此一元二次方程的判别式为 Δ，
则l与C相离的
⇔
Δ<0； l与C相切
⇔
Δ=0； l与C相交于不同两点
⇔
Δ>0.
2.弦长计算
计算椭圆被直线截得 的 弦 长，往往 是 设 而不求， 即 设 弦两端坐 标 为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
⇒
|P1P2|=
√
(x1−x2)2+( y1−y2)2
=
√
1+k2|x1−x2
|=
√
1+1
k2|y1−y2
|
（k为直线斜率）形式(利用根与系数关
系
（推导过程：若点 在直线 上，
则 ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
或者
。)
3.中点弦问题
关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：
考点讲解
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.
(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为＋＝1，直线与椭圆交于点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，且
弦AB 的中点为 M(x0，y0)，则
由①－②得 a2(y－y)＋b2(x－x)＝0，
∴＝－·＝－·.
这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决
考点 1：直线与椭圆的位置关系判定
例1．椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，点 在 上，且直线 的斜率为 ，则直线
斜率为（ ）
A．B．3 C．D．
【答案】B
【详解】 椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，
又 直线 的斜率为 ，
直线 的方程为： ，
代入椭圆 方程可得： ，
设 点坐标为 ，则 ，解得 ， ，
故直线 斜率 ，
故选:B．
【方法技巧】
求出 的坐标，进而求出直线 的方程，联立椭圆方程后，求出 点坐标，代入斜率公式，可得答案.
【变式训练】
【变式 1】．（多选）下列曲线中与直线 有交点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据直线与曲线联立方程，通过判断 的正负，即可判断方程根的情况，进而可得交点情况.
【详解】对于 A,直线 和 的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点．
对于 B,由 ，得 ， ，所以直线与 B中的曲线有交点．
对于 C,由 ，得 ， ，所以直线与 C中的曲线有交点．
对于 D,由 ，得 ， ，所以直线与 D中的曲线有交点．
故选：BCD
【变式 2】．直线 和曲线 的位置关系为_____.
【答案】相交
【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论.
【详解】曲线 为： 可得
直线 恒过 ，由 知定点 在椭圆内部，
所以直线 与椭圆 的位置关系为相交.
故答案为：相交.
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