《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》重难点专题：常见的排列组合问题解题策略（解析版）

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重难点专题：常见的排列组合问题解题策略
考点 1：排列的意义理解
例1．将 4封信投入 3个信箱中，共有_______种不同的投法；
【详解】解析：（1）第 1封信可以投入 3个信箱中的任意一个，有 3种投法；同理，第 2，3，4封信各有
3种投法．根据乘法原理，共有 种投法．
【方法技巧】
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作
“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处
理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数
【变式训练】】
1．仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（）种.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】每个冠军都有 3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．
【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有 3种可能，
因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有 种可能
故选：C．
2．核糖核酸( )分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个 分子是一个有着数百个甚
至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有 种
不同的碱基，分别用 、 、 、 表示.在一个 分子中，各种碱基能够以任意次序出
现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类 分子由 个碱
基组成，那么能有多少种不同的 分子？
【答案】有 种不同的 分子.
【分析】
分100 步完成，完成每步都是 种，再利用分步计数原理计算可得结果.
【详解】
个碱基组成的长链共有 个位置，
从左到右依次在每一个位置中，从 、 、 、 中任选一个填入，
每个位置有 种填充方法，
根据分步乘法计数原理，长度为 的所有可能的不同 分子数目有 个.
3．甲、乙、丙、丁 4名同学争夺数学、物理、化学 3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只
有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？
【答案】64
【分析】
完成这个工作是每一个学科必须有一个冠军，可以是相同的人得不同的冠军，所以对冠军有
限制对学生没有限制，每一个冠军有 4种选择，由分步乘法计数原理可求.
【详解】
举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学 3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、
丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有 3门学科各产生 1名冠军，才完成了这件事，而 4
名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.
第1步，产生第 1个学科冠军，它一定被其中 1名同学获得，有 4种不同的获得情况；
第2步，产生第 2个学科冠军，因为夺得第 1个学科冠军的同学还可以去争夺第 2个学科的
冠军，所以第 2个学科冠军也是由 4名同学去争夺，有 4种不同的获得情况；
第3步，同理，产生第 3个学科冠军，也有 4种不同的获得情况；
由分步乘法计数原理知，共有 种不同的冠军获得情况.
【点睛】
易错点睛：研究完成的这件事是什么？是冠军选人而不是人选冠军，所以要把每一个冠军都
选上人即可.
考点 2：相邻问题捆绑法
例2．把 4名男生和 4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为______．
【答案】2880
【分析】由捆绑法求解即可
【详解】先把 4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有 种，
再把这个整体与另外 4名男生进行排列，有 种，
故不同的排法种数有 种，
故答案为：
【方法技巧】
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.使用捆绑法，然后进
行排列，简单计算可得结果.
【变式训练】
1．3名学生和 2名老师站成一排合影，则 3名学生相邻的排法共有（）
A．48 种B．36 种C．20 种D．24 种
【答案】B
【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.
【详解】3名学生相邻,故将 3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有 排法，
故选:B.
2．将 3个1和2个0随机排成一行，则 2个0相邻的排列方法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】B
【分析】利用插空法，需注意 个 及个 不加区分；
【详解】解：将 个 看成一个整体，插入到 个 所形成的 个空中的 个，
故有 种插法，从而有 种排列的方法；
故选：B
3．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（）
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