《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》第一章空间向量与立体几何复习提升（解析版）

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知识归纳
第一章空间向量与立体几何复习提升
空间向量与立体几何知识要点
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
; ;
运算律：⑴加法交换律：
⃗a+b=b+a
⑵加法结合律：
(a+⃗
b)+c=a+(b+c)
⑶数乘分配律：
λ(a+b)=λ a+λ b
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向
量，
⃗a
平行于
⃗
b
，记作
a// {⃗
b¿
。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量
⃗a
、
（
⃗
b
≠
⃗
0
），
⃗a
//
⃗
b
存在实数 λ，使
⃗a
＝λ
⃗
b
。
奎屯
王新敞
新疆
（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>
⃗
AB=λ
⃗
AC
<=>
⃗
OC =x
⃗
OA +y
⃗
OB(其中 x+y=1)
（4）与
⃗
a
共线的单位向量为
±
⃗
a
|
⃗
a|
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的条件是存在实数 使
。
（3）四点共面：若 A、B、C、P四点共面<=>
AP=x
⃗
AB+y
⃗
AC
<=>
OP=x
⃗
OA+y
⃗
OB+z
⃗
OC (其中 x+y+z=1)
5. 空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序
实数组 ，使 。
若三向量 不共面，我们把 叫做空间的一个基底， 叫做基向量，空间任意
三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设 是不共面的四点，则对空间任一点 ，都存在唯一的三个有序实数 ，
使 。
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 对 空 间 任 一 点 ， 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ， 使
⃗
OA =
⃗
xi+
⃗
yi+
⃗
zk
，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标 ，记作
， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标。
注：①点 A（x,y,z）关于 x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平
面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为
(0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，用
表示。空间中任一向量
⃗
a=x
⃗
i+y
⃗
j+z
⃗
k
=（x,y,z）
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若 ， ，则 ，
， ，
，
，
。
②若 ， ，则 。
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