《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》8.1.2样本相关系数（原卷版）
8.1.2 样本相关系数
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：相关系数的意义及辨析；相关关系的计算；残差的计算；相关指数
计算及分析；非线性回归
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1 样本的相关系数
r
＝ ，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
(1)当
r
＞0 时，表明两个变量正相关；
(2)当
r
＜0 时，表明两个变量负相关；
2、相关关系的强弱
样本相关系数
r
的取值范围为[ － 1,1] ．
当|
r
|越接近 1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|
r
|越接近 0 时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
注意点：
当|
r
|＝1 时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．
当
r
＝0 时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．
3、样本相关系数的实际应用
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于 0，表明两个变
量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于 0.75
时，认为两个变量有很强的线性相关性．
残 4.差及残差分析
1．残差：对于响应变量
Y
，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为
预测值，观测值减去预测值称为残差．
2．残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效
果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
考点讲解
5、拓展延伸：非线性的规划问题
1、对数函数模型
y
＝
c
1＋
c
2ln
x
对数函数模型
y
＝
c
1＋
c
2ln
x
的求法
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，做出
y
＝
c
1＋
c
2ln
x
的函数选择．
(3)变量置换，令
z
＝ln
x
，通过变量置换把问题转化为＝1＋2
z
的经验回归问题，并求出经验
回归方程＝1＋2
z
.
(4)根据相应的变换，写出＝1＋2ln
x
的经验回归方程．
2、残差平方和与决定系数
R
2
1．残差平方和法
残差平方和
yi
－
i
)2越小，模型的拟合效果越好．
2．决定系数
R
2
可以用
R
2＝1－来比较两个模型的拟合效果，
R
2越大，模型拟合效果越好，
R
2越小，模型拟合
效果越差．
3、指数函数模型
y
＝
α
e
βx
(
α
＞0)
指数函数型
y
＝e
bx
＋
a
回归问题的处理方法
(1)函数
y
＝e
bx
＋
a
的图象，如图所示．
(2)处理方法：两边取对数得 ln
y
＝ln e
bx
＋
a
，即 ln
y
＝
bx
＋
a
.令
z
＝ln
y
，把原始数据
(
x
，
y
)转化为(
x
，
z
)，再根据线性回归模型的方法求出
a
，
b
.
4、幂函数模型
y
＝
αxβ
(
α
＞0)
考点 1：相关系数的意义及辨析
例1．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．
根据该折线图，下列说法错误的是（ ）
A．城镇人口与年份呈现正相关 B．乡村人口与年份的相关系数 接近
C．城镇人口逐年增长率大致相同D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势
【方法技巧】
根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出
合适的选项.
【变式训练】
1．在建立两个变量 y与x的回归模型时，分别选取了4个不同的模型，模型 1的相关系数为 0.88，模型 2
的相关系数为 0.66，模型 3的相关系数为 0.945，模型 4的相关系数为 0.01，其中拟合效果最好的模型是（
）
A．模型 1 B．模型 2 C．模型 3 D．模型 4
2．下列命题中正确的为（
）
A．相关系数 r越大，两个变量的线性相关性越强 B．相关系数 r越小，两个变量的线性相关性越弱
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．用相关指数 来刻画回归效果， 越小，说明模型的拟
合效果越好
3．x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用 拟合时的决定系数为 ，用 拟合时
的决定系数为 ，则， 中较大的是________.
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