《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》8.1.1变量的相关关系（解析版）

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8.1.1 变量的相关关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：相关关系与函数关系的概念及辨析；判断两个变量是否具有相关关
系；判断正负相关
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
一、相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称
为相关关系．
相关关系与函数关系的异同点
(1)相同点：均是指两个变量的关系．
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系．
②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响．
二、散点图
1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们
就称这两个变量正相关；
如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．
2．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就
称这两个变量线性相关．
3．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相
关或曲线相关．
判断两个变量
x
和
y
间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现
点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个
别点的位置的影响．
3、散点图的应用
从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间
具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。
4、一元线性回归模型与函数模型
一元线性回归模型：我们称为
Y
关于
x
的一元线性回归模型，其中，
Y
称为因变量或响应变
考点讲解
量，
x
称为自变量或解释变量；
a
和
b
为模型的未知参数，
a
称为截距参数，
b
称为斜率参
数；
e
是
Y
与
bx
＋
a
之间的随机误差．
5、最小二乘法和经验回归方程
最小二乘法：我们将
y
＝
bx
＋
a
称为
Y
关于
x
的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归
公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做 最小二乘法，求得的
b
，
a
叫做
b
，
a
的最小二乘估计，
回归方程：方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，
…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．
回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中( x ， y ) 称为样本
点的中心．
考点 1：相关关系与函数关系的概念及辨析
例1．（多选）对于任意给定的两个变量的统计数据，下列说法错误的是（ ）
A．一定可以分析出两个变量之间的关系
B．一定可以用一条直线近似地表示两者之间的关系
C．一定可以画出散点图
D．一定可以用确定的表达式表示两者之间的关系
【答案】ABD
【详解】给出两个变量的统计数据，总可以画出相应的散点图，故 C中说法正确；
但不一定能分析出两个变量之间的关系，更不一定符合线性相关，即不一定能用一条直线近似地表示两者
之间的关系，故 A、B中说法不正确；
两个变量之间不一定具有函数关系，故 D中说法不正确．
故选：ABD．
【方法技巧】
利用成对数据的统计相关性进行分析即可.
【变式训练】
1．下列说法正确的是（ ）
A． 中的 x，y是具有相关关系的两个变量
B．正四面体的体积与棱长具有相关关系
C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D．传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量
【答案】D
【分析】根据相关关系的定义、函数的定义即可判断
【详解】A，B均为函数关系，故 A、B错误；C，D为相关关系，故 C错，D对.
故选：D
2．下列两个量之间的关系是相关关系的是（ ）
A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高
C．儿童的年龄与体重D．物体的体积和质量
【答案】C
【分析】根据相关关系和函数关系的概念即可判断
【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系，
故选：C
3．给出成对 值的数据如下：
1 2 4 8
3 5 9 17
则根据数据可以判断 和 的关系是______．（填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”）
【答案】确定关系
【分析】根据两个变量的相关关系的概念分析可得答案.
【详解】由题表中数据可以得到 x，y之间是一种函数关系，函数解析式为 ，
所以x，y之间是一种确定的关系，即函数关系．
故答案为：确定关系．
考点 2：判断两个变量是否具有相关关系
例2．给出下列关系，其中具有相关关系的是________．
①考试号与考生考试成绩；②勤能补拙；③水稻产量与气候；④正方形的边长与正方形的面积．
【答案】②③##
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