《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》7.5正态分布（解析版）

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7.5 正态分布
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：正态密度曲线；概率分布曲线的认识；正态分布曲线的性质；标准
正态分布的应用；特殊区间的概率；指定区间的概率；根据正态曲线的对称性求参数； 3原则的应用；
正态分布的实际应用
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1、 密度函数的概念：在频率分布折线图中，当样本容量取得足够大，组距取得足够小的时候频率分布折
线图会变成一条光滑的曲线，我们就把这样的曲线叫做连续性随机变量的密度曲线；把他的解析式叫
做密度函数；
显然，如果连续型随机变量 的密度函数是 ，则：
； ；
； ；
2、正态分布的定义：如果连续型随机变量 的密度函数是： ；则称随机变量 服从
正态分布，记为： ；
Éí¸ ß/cm
ƵÂÊ/×é¾à
0.08
0.04
0.02
0.06
150 155 160 165 170 175 180
考点讲解
3、正态分布曲线的特点：
（1）整条曲线都在 轴的上方，即 对 恒成立；
（2） 是他的对称轴，当 时，函数 单调递增；当 时，函数 单
调递减；在 时取得最大值；
（3）正态分布曲线的两个主要参数 的几何学意义：
参数 决定对称轴的位置，也决定整条曲线的位置，所以也称为位置参数；参数 决定数据的离
散程度，也就决定了曲线的高矮胖瘦；具体规律是： 越大，数据越离散，曲线越矮越胖； 越小，
数据越集中，曲线越高越瘦；于是我们习惯于把参数 称为形状参数；
1、 正态分布的期望与方差：若
期望： ； 方差： ；
2、 正态分布的 原则：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
3、标准正态分布：若 ，则称随机变量 服从标准正态分布；
4、正态分布 与标准正态分布之间的转化关系：
若 ，则 ；
考点 1：正态密度曲线
例1．设随机变量 的正态分布密度函数为 ， ，则参数 ， 的值分别是
（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【详解】由正态分布密度函数表达式知 ， .
故选：D.
【方法技巧】
由正态分布密度函数的概念即得.
【变式训练】
1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数 f(x)的图象，且 ，则这个正态总体的均值与
标准差分别是（）
A．10 与8 B．10 与2
C．8与10 D．2与10
【答案】B
【分析】结合正态密度函数的定义和解析式，即可求解.
【详解】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值 ，方差 ，即 .
故选：B.
2．设随机变量 ，X的正态密度函数为 ，则 ______.
【答案】0
【分析】由正态密度函数结构直接可得.
【详解】由正态密度函数 结构特征可知， .
故答案为：0
考点 2：概率分布曲线的认识
例2．某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为 ，已知 均服从正态分
布， ， ，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）
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