《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》7.4.1二项分布（原卷版）

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7.4.1 二项分布
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：利用二项分布求分布列；二项分布的均值；二项分布的方差；服从
二项分布随机变量最大问题；建立二项分布模型解决实际问题
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1、相互独立事件
设 A，B 两个事件，如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即 ),则称事件
A 与事件 B 相互独立。
一般地，如果事件 A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这
n
个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概
率的积，即 .
注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.
2、n 次独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.
在 次独立重复试验中，记 是“第 次试验的结果”，显然，
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
第一：每次试验是在同样条件下进行；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
n 次独立重复试验的公式：
，而称 p 为成功概率.
3、二项分布
一般地，在 n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为 p，则
X
0 1 … k … n
P … …
考点讲解
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 ，并称 p为成功概率.
二项分布的期望与方差：若 ，则 ，
几何分布的期望和方差：
若 ，其中 ，…，
q=1−p
．则 ， .
考点 1：利用二项分布求分布列
例1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 的测试，如果通过两个或三个项目的测
试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过 每个项目测试的概率都是 ．
(1)求甲被录用的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 ，求 的分布列．
【方法技巧】
（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可；
（2）利用二项分布，求分布列即可.
【变式训练】
1．　从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且
概率都是 ，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的概率分布.
2．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行
三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测
不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，第三轮检测合格的概率为 ，每轮检测只有合格与不
合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响．
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利 400 元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损 200 元，现
有4箱这种蔬菜，求这 4箱蔬菜总收益的分布列．
考点 2：二项分布的均值
例2．从一批含有 13 件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取 1件，设抽取的次品数为 ，
则 （）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 ，并称 p为成功概率.
二项分布的期望与方差：若 ，则
【变式训练】
1．同时抛2枚质地均匀的硬币 3次，设 2枚硬币均正面向上的次数为 X，则 X的期望是（）
A．B．C．1 D．
2．曲靖一中某班级有学生 58 人，其中男生29 人，从该班级中随机地有放回地抽取一人，连续抽 58 次，
抽到女生的次数的期望等于（）
A．48 B．30 C．29 D．28
3．若随机变量 ，则数学期望 E（X）＝（）
A．6 B．3 C．D．
4．若离散型随机变量 ， ，且 ，则 为（）
A．B．C．D．
考点 3：二项分布的方差
例3．若随机变量 ，若 则 _____________.
【方法技巧】
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