《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》7.4.1二项分布（解析版）

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7.4.1 二项分布
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：利用二项分布求分布列；二项分布的均值；二项分布的方差；服从
二项分布随机变量最大问题；建立二项分布模型解决实际问题
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1、相互独立事件
设 A，B 两个事件，如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即 ),则称事件
A 与事件 B 相互独立。
一般地，如果事件 A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这
n
个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概
率的积，即 .
注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；
(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.
2、n 次独立重复试验
一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验.
在 次独立重复试验中，记 是“第 次试验的结果”，显然，
“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响
注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征
第一：每次试验是在同样条件下进行；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.
n 次独立重复试验的公式：
，而称 p 为成功概率.
3、二项分布
一般地，在 n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A发生的概率为 p，则
X
0 1 … k … n
P … …
考点讲解
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 ，并称 p为成功概率.
二项分布的期望与方差：若 ，则 ，
几何分布的期望和方差：
若 ，其中 ，…，
q=1−p
．则 ， .
考点 1：利用二项分布求分布列
例1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 的测试，如果通过两个或三个项目的测
试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过 每个项目测试的概率都是 ．
(1)求甲被录用的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 ，求 的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）由题意得甲通过两个项目测试的概率为 ，
通过三个项目测试的概率为 ，
所以甲被录用的概率为 .
（2）由（1）得每个人被录用的概率为 ， 的所有可能取值为 0，1，2，3，
所以 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
【方法技巧】
（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可；
（2）利用二项分布，求分布列即可.
【变式训练】
1．　从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且
概率都是 ，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的概率分布.
【答案】分布列见解析
【分析】根据题意 ，利用二项分布的概率公式求解即可.
【详解】由题意知 ，
则 ， ，
， ，
所以 的概率分布如下表：
0 1 2 3
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