《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》7.3.2离散型随机变量的方差（原卷版）

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考点讲解
7.3.2 离散型随机变量的方差
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求离散型随机变量的方差与标准差；方差的性质；方差的期望表；
两点分布的方差
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
知识点：方差；
方差：对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是
x1
，
x2
，…，
xn
，…，且取这些值
的概率分别是
p1
，
p2
，…，
pn
，…，那么,
Dξ
＝
(x1−Eξ )2
⋅p1
＋
(x2−Eξ )2
⋅p2
＋…＋
＋…称为随机变量 的均方
差，简称为方差，式中的
Eξ
是随机变量 的期望．
标准差：
Dξ
的算术平方根
√
Dξ
叫做随机变量
ξ
的标准差，记作
σξ
方差的性质：①
D(aξ +b)=a2Dξ
；②
Dξ=Eξ2−( Eξ )2
.
方差的意义：
(1)随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
(2)随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定
与波动、集中与离散的程度；
(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
考点 1：求离散型随机变量的方差与标准差
例1．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程 X（单位：km）的可能取值是
20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是 0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求 X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为 5元，行驶路程不超过 3km 时，收费 5元，行驶路程超过 3km 时，则
按每超出 1km（不足 1km 也按 1km 计程）收费 3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【方法技巧】
（1）利用概率和为 1求出 的值，然后可得 X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为 Y元，则 ，然后利用期望方差的性质可算出
答案.
【变式训练】
1．随机变量 的概率分别为 ， ，其中 是常数，则 的值为（）
A．B．C．1 D．
2．若随机变量 的分布列如表，则 的方差 是（）
0 1
A．0 B．1 C．D．
3．已知随机变量 X的分布列为
0 1
下列结论正确的有（）
A．B．C．D．
4．已知随机变量 X的分布列如下：
X0 1 2
P0.4 p0.4
则P＝___；D（X）＝___．
考点 2：方差的性质
例2．离散型随机变量 X的分布为：
0 1 2 4 5
若离散型随机变量 Y满足 ，则下列结果正确的为______．
① ；② ；③ ；④ ．
【方法技巧】
方差的性质：①
D(aξ +b)=a2Dξ
；②
Dξ=Eξ2−( Eξ )2
.
【变式训练】
1．已知随机变量 满足 ，则下列选项正确的是（）
A．B．
C．D．
2．若样本数据 ， ，…， 的标准差为 4，则数据 ， ，…， 的标准差为_________
__.
3．已知离散型随机变量 X的取值为有限个， ， ，则 ______．
4．医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为 （摄氏
度）．医学统计发现，X的分布列如下．
X37 38 39 40
P
0.
1
0.5
0.
3
0.1
(1)求出 ， ；
(2)已知人体体温为 时，相当于 ，求 ， ．
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