《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》7.3.2离散型随机变量的方差（解析版）

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考点讲解
7.3.1 离散型随机变量的方差
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求离散型随机变量的方差与标准差；方差的性质；方差的期望表；
两点分布的方差
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
知识点：方差；
方差：对于离散型随机变量 ，如果它所有可能取的值是
x1
，
x2
，…，
xn
，…，且取这些值
的概率分别是
p1
，
p2
，…，
pn
，…，那么,
Dξ
＝
(x1−Eξ )2
⋅p1
＋
(x2−Eξ )2
⋅p2
＋…＋
＋…称为随机变量 的均方
差，简称为方差，式中的
Eξ
是随机变量 的期望．
标准差：
Dξ
的算术平方根
√
Dξ
叫做随机变量
ξ
的标准差，记作
σξ
方差的性质：①
D(aξ +b)=a2Dξ
；②
Dξ=Eξ2−( Eξ )2
.
方差的意义：
(1)随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
(2)随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定
与波动、集中与离散的程度；
(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.
考点 1：求离散型随机变量的方差与标准差
例1．某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程 X（单位：km）的可能取值是
20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是 0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求 X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为 5元，行驶路程不超过 3km 时，收费 5元，行驶路程超过 3km 时，则
按每超出 1km（不足 1km 也按 1km 计程）收费 3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析， ， ；
(2)均值为 71 元，方差为 .
（1）
由题意，得 ．∴ ．
∴X的分布列为
X20 22 24 26 28 30
P0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴ ，
．
（2）
设此人一天中出车一次的收入为 Y元，则 ，
∴ ， ．
故此人一天中出车一次收入的均值为 71 元，方差为 95.4．
【方法技巧】
（1）利用概率和为 1求出 的值，然后可得 X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为 Y元，则 ，然后利用期望方差的性质可算出
答案.
【变式训练】
1．随机变量 的概率分别为 ， ，其中 是常数，则 的值为（）
A．B．C．1 D．
【答案】C
【分析】先求得参数 k的值，进而求得 的值，再利用随机变量的方差的计算公式即可求得 的值
【详解】 ， ， ，解得 ，
，
.
故选：C.
2．若随机变量 的分布列如表，则 的方差 是（）
0 1
A．0 B．1 C．D．
【答案】D
【分析】根据分布列利用期望与方差的公式计算即可得解.
【详解】解： ，
则.
故选：D.
3．已知随机变量 X的分布列为
0 1
下列结论正确的有（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】利用分布列的性质判断 A，期望、方差的定义计算判断 B，D；期望的性质计算判断 C作答.
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