《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》7.1 条件概率与全概率公式（解析版）

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7.1 条件概率与全概率公式

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

考点分析及解题方法归纳：考点包含：计算条件概率；条件概率的应用；利用全概率公式求概率；利用贝

叶斯公式求概率

2. 课堂知识小结

3. 考点巩固提升

知识归纳

1．条件概率

（一）定义

一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生

的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．

注意：（1）条件概率中“ ”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用

条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．

（二）性质

（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和 1 之间，即．

（2）必然事件的条件概率为 1，不可能事件的条件概率为．

（3）如果与互斥，则．

注意：（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；

（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空

间计算发生的概率，即．

（三）计算方法

（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．

（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求

事件包含的基本事件数，则．

2．相互独立与条件概率的关系

（一）相互独立事件的概念及性质

（1）相互独立事件的概念

对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设

，根据条件概率的计算公式，，从而．

由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．

（2）概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概

率的乘法公式．

（3）相互独立事件的性质

如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．

（4）两个事件的相互独立性的推广

两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互

独立，则这个事件同时发生的概率．

（二）事件的独立性

（1）事件与相互独立的充要条件是．

（2）当时，与独立的充要条件是．

（3）如果，与独立，则成立．

3．全概率公式

（一）全概率公式（由因求果）

（1）；

（2）定理若样本空间中的事件，，…，满足：

①任意两个事件均互斥，即，，；

② ；

③ ， .

则对中的任意事件，都有，且

证明：如下图所示，因为事件中有且只有一个与事件 B 同时发生，其中互斥，

即

B=∑

i=1

BAi

，显然也互不相容.

所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：

即得到全概率公式：

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