《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》6.3.2二项式系数的性质（原卷版）

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6.3.2 二项式系数的性质

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

考点分析及解题方法归纳：考点包含：求指定项的二项式系数；二项式系数的增减性和最值；二项式的系

数和；求指定项的系数；求有理项或其系数；有项的系数确定参数；二项展开式各项系数和；求系数最大

（小）项；奇次项和偶次项的系数；三项展开系数问题；两个二项式乘积展开式系数问题；由二项展开式

各项系数和求参数

2. 课堂知识小结

3. 考点巩固提升

知识归纳

1) 二项式系数的性质

性质 1 的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，

即

性质 2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即

性质 3 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于，即

（令即得）

性质 4 的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项

的二项式系数的和，即

（即得）

性质 5 的二项展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大

值；当为奇数时，中间两项的二项式系数

考点讲解

相等，且同时取得最大值（即中间项的二项式系数最大）

［特别提醒］

1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式，注意与虽然相同，但具体到

它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该

项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指，而后者是指字母外的部分。

2．在使用通项公式时，要注意：

（1）通项公式是表示第 r＋1项，而不是第 r项.

（2）展开式中第 r+1 项的二项式系数 C

与第 r+1 项的系数不同.

（3）通项公式中含有 a，b，n，r，T

r+1

五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在

有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般

是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意 n是正整数，r是非负整数且 r≤n.

考点 1：求指定项的二项式系数

例1．已知在的展开式中，第 6项为常数项，则含项的系数为______．

【方法技巧】

利用二项展开式的通项公式求解.

【变式训练】

1．的展开式中项的系数为（　　）

A．B．C．80 D．200

2．的展开式中的系数为__________（用数字作答）．

3．若，则 ______；______.

考点 2：二项式系数的增减性和最值

例2．已知的展开式共有 13 项，则下列说法中正确的有（）

A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为

C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有 5项

【方法技巧】

根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.

【变式训练】

1．已知的展开式中只有第 5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）

A．B．C．D．

2．已知为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大

值为，且，则的值为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

3．（多选）已知的展开式中第 6项的二项式系数最大，则的值可以为（）

A．8 B．9 C．10 D．11

考点 3：二项式的系数和

例3．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的

常数项为（）

A．90 B．10 C．10 D．90

【方法技巧】

由题意可得，得，然后求出二项式展开式的通项公式，由的次数为零，求出，从而可

求出常数项.

【变式训练】

1．在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为 64，则该展开式中的的系数是________．

2．已知展开式中第 3项与第 11 项的二项式系数相等，则二项式系数和是______．

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