《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》6.3.2二项式系数的性质（解析版）

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6.3.2 二项式系数的性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求指定项的二项式系数；二项式系数的增减性和最值；二项式的系
数和；求指定项的系数；求有理项或其系数；有项的系数确定参数；二项展开式各项系数和；求系数最大
（小）项；奇次项和偶次项的系数；三项展开系数问题；两个二项式乘积展开式系数问题；由二项展开式
各项系数和求参数
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1) 二项式系数的性质
性质 1 的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，
即
性质 2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即
性质 3 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 ，即
（令 即得）
性质 4 的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项
的二项式系数的和，即
（ 即得）
性质 5 的二项展开式中，当 为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大
值；当 为奇数时，中间两项的二项式系数
考点讲解
相等，且同时取得最大值 （即中间项的二项式系数最大）
［特别提醒］
1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式 ，注意 与 虽然相同，但具体到
它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该
项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指 ，而后者是指字母外的部分。
2．在使用通项公式 时，要注意：
（1）通项公式是表示第 r＋1项，而不是第 r项.
（2）展开式中第 r+1 项的二项式系数 C
n
r
与第 r+1 项的系数不同.
（3）通项公式中含有 a，b，n，r，T
r+1
五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在
有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般
是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意 n是正整数，r是非负整数且 r≤n.
考点 1：求指定项的二项式系数
例1．已知在 的展开式中，第 6项为常数项，则含 项的系数为______．
【答案】405
【详解】解：通项公式为 ．
因为第 6项为常数项，
所以 时，有 ，
解得 ．
即 ．
令 ，
解得 ．
所以含 项的系数为 ．
故答案为：405．
【方法技巧】
利用二项展开式的通项公式求解.
【变式训练】
1． 的展开式中 项的系数为（　　）
A．B．C．80 D．200
【答案】B
【分析】先利用二项式定理求出 的展开式通项，再利用多项式相乘进行求解.
【详解】 的展开式的通项为 ，
因为 ，
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
所以展开式中 项的系数为 .
故选：B.
2． 的展开式中 的系数为__________（用数字作答）．
【答案】7
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式 的通项公式为： ，
令 ，所以 的系数为 ，
故答案为：
3．若 ，则 ______；______.
【答案】ÑÑÑÑ 1 0
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