《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》6.2.3组合--6.2.4组合数（解析版）

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考点讲解
6.2.3 组合--6.2.4 组合数
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；组合意义理解；排列数与组合数的区别；组合数的计算；利用组合数
公式证明；组合数方程和不等式；组合数的性质及应用
分类加法计数原理；分布乘法计数原理；实际问题中的计数原理；代数中的计数原理；几何中的计数原理
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
组合：
（1）组合定义：一般地，从 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从 个不同
元素中取出 个元素的一个组合。
（2）组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数叫做从 个不同
元素中取出 个元素的组合数。用符号 表示。
（3）组合数公式：
其中 ，并且 ， 规定
注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排
列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.
（4）组合数的性质：
考点 1：组合意义理解
例1．（多选）给出下列问题，属于组合问题的有（）
A．从甲、乙、丙 3名同学中选出 2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B．有 4张电影票，要在 7人中确定 4人去观看，有多少种不同的选法
C．某人射击 8枪，击中 4枪，且命中的 4枪均为 2枪连中，则不同的结果有多少种
D．从 2，3，5，7，11 中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【答案】BCD
 
 
!!
!
!
121
mnm
n
m
mnnnn
C
m
n
mn
n
m
n
CC
m
n
m
n
m
n
CCC
1
1
【详解】对于 A，从 3名同学中选出 2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；
对于 B，从 7人中选出 4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于 C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；
对于 D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.
故选：BCD
【方法技巧】
根据选项中不涉及元素顺序的为组合问题，即可确定结果.
【变式训练】
1．（多选）给出下列问题，其中是组合问题的是（）
A．由 1，2，3，4构成的含 3个元素的集合
B．从 7名班委中选 2人担任班长和团支书
C．从数学组的 10 名教师中选 3人去参加市里新课程研讨会
D．由 1，2，3，4组成无重复数字的两位数
【答案】AC
【分析】根据排列和组合的定义判断即可.
【详解】A中，选出的元素构成集合，是组合问题；
B中，2人担任班长和团支书，有两种不同的分工，是排列问题；
C中，选出的 3人去参加研讨会，是组合问题；
D中，2个数字组成两位数，有十位和个位的区分，是排列问题.
故选：AC.
2．用列举法写出下列组合：
(1)从4个不同元素中任取 3个元素的所有组合；
(2)从5个不同元素中任取 2个元素的所有组合．
【答案】(1)答案详见解析
(2)答案详见解析
【分析】（1）利用列举法求得正确答案.
（2）利用列举法求得正确答案.
(1)
设 个不同元素为 ，
从中任取 3个元素，所有组合为： .
(2)
设 个不同元素为 ，
从中任取 个元素，所有组合为： ，
.
考点 2：排列数与组合数的区别
例2．（多选）下列问题中，属于组合问题的是（）
A．10 支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10 支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从 10 名员工中选出 3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从 10 名员工中选出 3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序
区别；
C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的 3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，
.故选：AC.
【方法技巧】
区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序就是组合
问题,.
【变式训练】
1．下列问题中为组合问题是（ ）
A．从全班50 人中选出 5名组成班委会；
B．从全班50 人中选出 5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
C．从 1，2，3， ，9中任取出两个数求积；
D．从 1，2，3， ，9中任取出两个数求差或商.
【答案】AC
【分析】根据排列与组合的区别：有序与无序进行判断.
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