《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》5.3.2 函数的极值与最大（小）值（解析版）

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5.3.2 函数的极值与最大（小）值
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求已知函数的极值；根据极值求参数；函数（导函
数）图像与极值的关系；函数最值与极值的关系；由导数求函数的最值（不含参）；已知
函数最值求参数；函数的单调性，极值与最值的综合应用；根据极值点求参数；函数（导
函数）；图像与极值点的关系；由导数求函数的最值（含参）；求已知函数的极值点
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
一．极值与导数
①极值的定义：设函数 在点 附近有定义，且若对 附近的所有的点都有
（或 ，则称 为函数的一个极大（或小）值， 为极大
（或极小）值点。
②可导数 在极值点 处的导数为 0（即 ），但函数 在某点 处的导
数为 0，并不一定函数 在该处取得极值（如 在 处的导数为 0，但
没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数 ；
第二步：求方程 的所有实根；
第三步：列表考察在每个根 附近，从左到右，导数 的符号如何变化，
若 的符号由正变负，则 是极大值；
若 的符号由负变正，则 是极小值；
若 的符号不变，则 不是极值， 不是极值点。
二．导数与最值
①最值的定义：若函数在定义域 D 内存 ，使得对任意的 ，都有 ，
考点讲解
（ 或 ） 则 称 为 函 数 的 最 大 （ 小 ） 值 ， 记 作 （ 或
）
②如果函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区
间 上必有最大值和最小值。
③求可导函数 在闭区间 上的最值方法：
第一步；求 在区间 内的极值；
第二步：比较 的极值与 、 的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最
大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数
f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极
小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对
应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如 的极大值为 ，极小值为 2。
注意：当 x=x0时，函数有极值
⇒
f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0时，函数
有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
考点 1：求已知函数的极值
例1．函数 的极小值为（）
A．1 B．C．D．
【答案】A
【详解】解：由 可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
故 的极小值为 ，
故选：A
【方法技巧】
利用导数研究函数的单调性，进而求得极值
【变式训练】
1．函数 的极大值为（）
A．-2 B．2 C．D．不存在
【答案】A
【分析】求出导函数，判断导函数符号，结合极值的定义得答案.
【详解】 ＝1－ ＝ ．令 得 或 （舍）．
由于 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减.
故函数在 处取得极大值 ．
故选：A
2．函数 有（）
A．极大值为 5，无极小值 B．极小值为 ，无极大值
C．极大值为 5，极小值为 D．极大值为 5，极小值为
【答案】A
【分析】利用导数可求出结果.
【详解】 ,
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时，取得极大值 ，无极小值.
故选：A
3．函数 的极小值是__________．
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