《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》5.3.1 函数的单调性（原卷版）

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5.3.1 函数的单调性
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：用导数判断或证明函数的单调性；用导数求函数的单调区间（不含
参）；用函数单调区间求参数；由函数在区间上的单调性求参数；函数与导函数图像之间的关系
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
函数的单调性：设函数 在某个区间内可导，
（1） 该区间内为增函数；
（2） 该区间内为减函数；
注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这个区间上仍是递增
（或递减）的。
（3） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（4） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
1、利用导数证明（或判断）函数 f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
y'=f'(x)
(2)判断导函数
y'=f'(x)
在区间上的符号
(3)下结论
① 该区间内为增函数；
② 该区间内为减函数；
2、利用导数求单调区间
求函数
y=f(x)
单调区间的步骤为：
（1）分析
y=f(x)
的定义域； （2）求导数
y'=f'(x)
（3）解不等式
f'(x)>0
，解集在定义域内的部分为增区间
考点讲解
（4）解不等式
f'(x)<0
，解集在定义域内的部分为减区间
3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（2） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增
或减区间的子集。
考点 1：用导数判断或证明函数的单调性
例1．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（）
A．B．C．D．
【变式训练】
根据函数奇偶性的定义和单调性的定义结合基本函数的性质逐个分析判断.
【变式训练】
1．已知函数 的导数是 ，那么“函数 在 R上单调递增”是“ ”
的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（多选）下列命题中正确的是（）
A．函数 的周期是
B．函数 的图像关于直线 对称
C．函数 在 上是减函数
D．函数 的最大值为
3．已知函数 ，则不等式 的解集为_______．
考点 2：用导数求函数的单调区间（不含参）
例2．下列区间中能使函数 单调递增的是（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
利用导数的正负与函数单调性的关系及复合函数的单调性的解决办法即可求解.
【变式训练】
1．函数 的单调增区间为_________.
2．函数 的单调递增区间为________．
3．已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的单调递减区间
考点 3：用函数单调区间求参数
例3．若函数 在区间 上单调递增，则实数 a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于 0，即可求解.
【变式训练】
1．已知函数 的单调递减区间为 ，则（）.
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