《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》5.3.1 函数的单调性（解析版）

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5.3.1 函数的单调性
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：用导数判断或证明函数的单调性；用导数求函数的单调区间（不含
参）；用函数单调区间求参数；由函数在区间上的单调性求参数；函数与导函数图像之间的关系
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
函数的单调性：设函数 在某个区间内可导，
（1） 该区间内为增函数；
（2） 该区间内为减函数；
注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这个区间上仍是递增
（或递减）的。
（3） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（4） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
1、利用导数证明（或判断）函数 f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
y'=f'(x)
(2)判断导函数
y'=f'(x)
在区间上的符号
(3)下结论
① 该区间内为增函数；
② 该区间内为减函数；
2、利用导数求单调区间
求函数
y=f(x)
单调区间的步骤为：
（1）分析
y=f(x)
的定义域； （2）求导数
y'=f'(x)
（3）解不等式
f'(x)>0
，解集在定义域内的部分为增区间
考点讲解
（4）解不等式
f'(x)<0
，解集在定义域内的部分为减区间
3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（2） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增
或减区间的子集。
考点 1：用导数判断或证明函数的单调性
例1．下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于 A，函数的定义域为 ，定义域关于原点对称，因为 ，所以此函
数为奇函数，所以 A错误，
对于 B，函数的定义域为 ，定义域关于原点对称，因为 ，所以此函数为
偶数，因为 的对称轴为 轴，开口向上，所以此函数在 上递增，所以 B错误，
对于 C，定义域为 ，定义域关于原点对称，因为 ，所以此函数为
偶函数，
当 时， ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以函数在
递减，在 上递增，所以 C错误，
对于 D，函数的定义域为 ，因为 ，所以此函数为偶函数，因为 在
上递减， ，所以 在 上单调递减，所以 D正确，
故选：D
【变式训练】
根据函数奇偶性的定义和单调性的定义结合基本函数的性质逐个分析判断.
【变式训练】
1．已知函数 的导数是 ，那么“函数 在 R上单调递增”是“ ”
的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用定义法直接判断.
【详解】充分性：因为函数 在 R上单调递增，所以 .即充分性成立；
必要性：取特殊函数 ，有 符合“ ”，但是不符合“函数 在 R上单调递
增”.即必要性不满足.
所以已知函数 的导数是 ，那么“函数 在 R上单调递增”是“ ”
的充分不必要条件.
故选：A
2．（多选）下列命题中正确的是（）
A．函数 的周期是
B．函数 的图像关于直线 对称
C．函数 在 上是减函数
D．函数 的最大值为
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