《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》5.1导数的概念及其意义（解析版）

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5.1 导数的概念及其意义
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：数列的概念与辨析；根据规律填写数列中的某项；递增数列与递减
数列；确定数列中的最大（小）项；有穷数列与无穷数列；写出数列中的项；求递推关系式；数列的周期
性；数列的单调性求参数
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
一．导数的定义：
2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量： ；②求平均变化率： ；
③取极限得导数：
二．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻 时的瞬时速度 就是物体运动规律 在 时的导数 ，
即有 。
2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
三．导数的几何意义：
函数 在 处导数的几何意义，曲线 在点 处切线的斜率是 。于
是相应的切线方程是： 。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线 在点 处切线：性质： 。相应的切线方程是：
（2）曲线 过点 处切线：先设切点，切点为 ,则斜率 k= ，切点
考点讲解
在曲线 上，切点 在切线 上，切点 坐标代入方程得关于
a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k= ，确定切线方程。
考点 1：平均变化率
1．已知函数 ，则该函数在区间 上的平均变化率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为函数 ，
所以该函数在区间 上的平均变化率为
，
故选：A
【方法技巧】
根据平均变化率的定义直接求解.
【变式训练】
1．函数 在区间 上的平均变化率等于（）
A．B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据平均变化率公式计算可得；
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，即函数 在区间 上的平均变化率为 ；
故选：C
2．如图所示为物体甲、乙在时间 0到 范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．
①在 0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在 时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；
③在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在 0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
【答案】③④
【分析】根据平均速度的公式判断①③④，从而①错误，③④正确；
根据瞬时速度与切线斜率的关系作出判断②错误；
【详解】在 0到 范围内，甲、乙的平均速度都为 ，故①错误．
瞬时速度为切线斜率，故②错误．
在 到 范围内，甲的平均速度为 ，乙的平均速度为 ，因为 ， ，所
以 ，故③正确．同理④正确．
故答案为：③④．
考点 2：瞬时变化率
例2．某物体的运动路程 s（单位：m）与时间 t（单位：s）的关系可用函数 表示，则该物体
在s时的瞬时速度为（）
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