《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》4.4数学归纳法（原卷版）

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4.4 数学归纳法

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

考点分析及解题方法归纳：数学归纳法证明恒等式；数学归纳法证明整除问题；数学归纳法证明数列问题；

数学归纳法证明其它问题；数学归纳法证明解决探究问题

2. 课堂知识小结

3. 考点巩固提升

知识归纳

1．数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：

（1）证明当 n＝n0 时命题成立；

（2）假设当 n＝k（k∈N+，且 k≥n0）时命题成立，证明 n＝k+1 时命题也成立．

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳

法．

2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．

（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．

在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．

（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第

一步而没

有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对

n0+1，

n0+2 …，，是否正确．

在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而 n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，

公理，定

理，定义加以证明．

考点讲解

完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．

3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

①明确初始值 n0 并验证真假．（必不可少）

②“假设 n＝k ”时命题正确并写出命题形式．

③“分析 n＝k+1 ” “时命题是什么，并找出与 n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．

④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上

假设．

考点 1：数学归纳法证明恒等式

例1．用数学归纳法证明 .

【方法技巧】

由n=1 时，等式成立，假设 n=k时，等式成立，再证得时，等式成立即可.

【变式训练】

1．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式

左边增加的项数为（）

A．1 B．C．D．

2．用数学归纳法证明对任意都成立，则的最小值为_________.

3．用数学归纳法证明：（n为正整数）．

考点 2：数学归纳法证明整除问题

例2．用数学归纳法证明：可以被 7整除.

【方法技巧】

用数学归纳法证明．

【变式训练】

1．已知，存在自然数，使得对任意，都能使整除，则最大的的值

为______．

2．用数学归纳法证明：对任意正整数能被 9整除．

考点 3：数学归纳法证明数列问题

例3．设数列满足，．

(1)计算，猜想的通项公式；

(2)用数学归纳法证明上述猜想，并求前项和．

【方法技巧】

（1）根据已知条件，结合递推关系求出，从而可猜想出通项公式，

（2）利用数学归纳法的步骤证明即可，判断数列为等差数列，然后根据等差数的求和公式可求得结

果

【变式训练】

1．在数列中，，表示前 n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，

猜想等于（）．

A．B．C．D．

2．用数学归纳法证明：如果是一个公差为 d的等差数列，那么对任何都成立．

3．先猜想下列算式的和，并用数学归纳法证明：．

5．在数列，中，，且当（为正整数）时，，．

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