《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》4.4数学归纳法（解析版）

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4.4 数学归纳法
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：数学归纳法证明恒等式；数学归纳法证明整除问题；数学归纳法证明数列问题 ；
数学归纳法证明其它问题；数学归纳法证明解决探究问题
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当 n＝n0 时命题成立；
（2）假设当 n＝k（k∈N+，且 k≥n0）时命题成立，证明 n＝k+1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳
法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第
一步而没
有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对
n0+1，
n0+2 …， ，是否正确．
在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而 n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，
公理，定
理，定义加以证明．
考点讲解
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值 n0 并验证真假．（必不可少）
②“假设 n＝k ”时命题正确 并写出命题形式．
③“分析 n＝k+1 ” “时 命题是什么，并找出与 n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上
假设．
考点 1：数学归纳法证明恒等式
例1．用数学归纳法证明 .
【答案】详见解析
【详解】证明：（1）当 n=1 时，左边=1-x，右边=1-x=左边，等式成立；
（2）假设 n=k时，等式成立，即 ，
当 时， ，
，
，
，
故当 时，等式成立，
由（1）（2）可知，原等式对于任意 成立.
【方法技巧】
由n=1 时，等式成立，假设 n=k时，等式成立，再证得 时，等式成立即可.
【变式训练】
1．用数学归纳法证明： 的过程中，由 递推到 时等式
左边增加的项数为（ ）
A．1 B．C．D．
【答案】B
【分析】将 代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】当 时，等式为 ，
当 时， ，
增加的项数为 ,
故选:B.
2．用数学归纳法证明 对任意 都成立，则 的最小值为_________.
【答案】3
【分析】化简 可得 ，再从正整数 开始逐个代入判断即可
【详解】由题得 ，即 ，当 时， ，不符合；当 时， ，不
符合；当 时， ，不等式成立；当 时， 25，不等式成立，当 时根据指数函数与一
次函数的性质可得 .所以满足题意的 的最小值为 3.
故答案为：3
3．用数学归纳法证明： （n为正整数）．
【答案】证明见解析
【分析】根据数学归纳法的步骤即可完成证明
【详解】证明：①当 时，左边 ，右边 ，等式成立．
②假设当 时，等式成立，
即 ，
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