《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》4.3.2 等比数列前n项和公式（解析版）

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考点讲解

4.3.2 等比数列前 n项和公式

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

考点分析及解题方法归纳：考点包含：求等比数列前 n项和；等比数列前 n项和的片段的性质；等比数列

的奇偶和；等比数列前 n项和的其它性质；前 n项和的特点；前 n项和与通项公式；等比数列的简单应用

2. 课堂知识小结

3. 考点巩固提升

知识归纳

等比数列的前项和的公式：

（1）公式：．

（2）公式特点：

（3）等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．

② ．③ ，，成等比数列（）．

6、等比数列判定方法：

①定义法：

an+1

=q（常数） ⇒

{

}

为等比数列；

②中项法：

an+12=an

⋅an+2(an≠0) ⇒

{

}

为等比数列；

③通项公式法：

an=k⋅qn¿(k , q 为常数） ⇒¿

{

}

为等比数列；

④前

项和法：

Sn=k(1−qn)¿（k , q 为常数）⇒¿

{

}

为等比数列。

考点 1：求等比数列前 n项和

例1．已知数列为等比数列，，且是与的等差中项．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前 n项和．

解：（1）设的公比为 q．

因为是与的等差中项，所以，

即，整理得，

解得或．

又因为，所以．

所以．

（2）由（1）知，

所以，

而，

所以．

【方法技巧】

（1）首先根据等差中项的性质列出等式，然后通过等比数列的基本量的计算列出方程，并解方程即可.

（2）首先根据题干条件，由（1）中的通项公式得到的通项公式，然后根据等比数列的前项和公式

求得即可.

【变式训练】

1．设为公比的等比数列的前 n项和，且成等差数列，则 ________．

【答案】10

【分析】利用等比数列、等差中项列方程，可解出 q，则可由求值.

【详解】由题意，，解得（舍）或，∴

故答案为：10

2．在等差数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)设为等比数列的前 n项和，若，求的值．

【分析】（1）由题意，根据等差数列的定义，可得答案；

（2）由题意，根据等比数列的定义，求得公比，结合求和公式，可得答案.

（1）设等差数列的公差为，由，则，，，则

，

故的通项公式为 .

（2）由，两边同减，可得，则，

设等比数列的公比为，则，解得，

由，故数列是首项为，公比为的等比数列，

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