《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》4.3.1 等比数列的概念（解析版）

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考点讲解
4.3.1 等比数列的概念
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：等比数列的定义；等比中项；判断等比数列；等比数列的通项；等
比数列的性质；正项等比数列的对数成等差数列的应用；等比数列通项公式的指数函数特性；等比数列的
写单调性；等比数列中最大（小）项；利用等比数列通项公式求数列中的项
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个
数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
2、通项公式
（1）、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 ．
（2）、通项公式的变形：① ；② ．
3、等比中项：在 与 中插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项．
若 ，则称 为 与 的等比中项．注意： 与 的等比中项可能是 。
4、等比数列性质
若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ），则 ；
若 是等比数列，且 （ 、 、 ），则 ．
5、等比数列判定方法：
①定义法：
an+1
an
=q（常数） ⇒
{
an
}
为等比数列；
②中项法：
an+12=an
⋅an+2(an≠0) ⇒
{
an
}
为等比数列；
③通项公式法：
an=k⋅qn¿(k , q 为常数） ⇒¿
{
an
}
为等比数列；
考点 1：等比数列的定义
例1．若数列 为等比数列， ， ，则公比 （）
A．-4 B．C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等比数列定义进行求解.
【详解】由题意得：
故选：C
【方法技巧】
（1）文字表示：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为
等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
（2）符号表示：
【变式训练】
1．下列各组数成等比数列的是（）
① ， ， ， ② ， ， ， ③ ， ， ， ④ ， ， ，
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义进行判断.
【详解】①首项为 1，公比为 ，是等比数列； ②首项为 ，公比为 ，是等比数列；③当 时，
不是等比数列；④首项为 ，公比为 ，是等比数列，所以①②④成等比数列.
故选：C.
2．若－1，2，a，b成等比数列，则 ______．
【答案】4
【分析】根据等比数列的定义列式求出 即可得解.
【详解】根据题意，有 ，
解得 ， ，所以 ．
故答案为：4
3．已知等比数列 中的前三项为 、 、 ，则实数 的值为______．
【答案】
【分析】根据等比数列的定义可得出关于实数 的等式与不等式，即可解得实数 的值.
【详解】因为 为 与 的等比中项，所以 ，解得 .
故答案为： .
考点 2：等比中项
例2．在等比数列 中， ，则 和 的等比中项为________．
【答案】
【分析】根据等比中项的知识求得正确答案.
【详解】设 与 的等比中项为 ，
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
【方法技巧】
等比中项：在 与 中插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项．若
，则称 为 与 的等比中项．注意： 与 的等比中项可能是 。
【变式训练】
1．若不为 1的正数 a，b，c依次成公比大于 1的等比数列，则当 时， ， ， （）．
A．依次成等差数列 B．依次成等比数列
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