《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》4.2.2 等差数列的前n项和公式（原卷版）

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4.2.2 等差数列的前 n项和公式
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求等差数列前 n项和；数列前 n项和判断数列是否为等差数列；等
差数列前 n项和求通项；含绝对值的等差数列前 n项和；等差数列前 n和的性质；两个等差数列前 n项和
的比；等差数列前 n项和的二次函数特征；求等差数列前 n项和的最值；等差数列前 n项和求参数；等差
数列奇数项或偶数项的和；等差数列的应用
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
等差数列的前 项和的公式
公式：① ；② ．
公式特征： 是一个关于 n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前 项和的性质：
①若项数为 ，则 ，且 ， ．
②若项数为 ，则 ，且 ，
（其中 ， ）．
③ ， ， 成等差数列．
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an+1−an=d(常数）（n∈N¿）
⇒
{
an
}
是等差数列
②中项法：
A+B+C=π , A+B+C
2=π
2 , A+B
2=π
2 - C
2
Sin
(
A+B
)
=Sin
(
C
)
C o s
(
A+B
)
=−Cos
(
C
)
Sin
(
A+B
2
)
=Cos
(
C
2
)
Cos
(
A+B
2
)
=Sin
(
C
2
)
{
an
}
是等差数列
③通项公式法：
an=kn+b(k , b 为常数)
{
an
}
是等差数列
④前
Sin
(
α+β
)
=Sin αCos β +Cosα Sin β , S (α+β)
Sin
(
α−β
)
=Sin α Cosβ −Cos αSin β , S(α−β)
项和公式法：
Cos
(
α+β
)
=Cos α Cos β−S in α Sin β , C(α+β)
Cos
(
α−β
)
=Cos α Cos β+Sin α Sin β , C(α−β)
tan
(
α+β
)
=tan α+tan β
1−tan αtan β , T(α+β)
tan
(
α−β
)
=tan α−tan β
1+tan αtan β , T(α−β)
⇒
Sin 2α=2Sin α Cos α
Cos2α=2Cos2α−1=1−2Sin2α=Cos2α−Sin2α
tan 2 α=2 tan α
1−tan 2α
是等差数列
考点讲解
考点 1：求等差数列前 n项和
例1．已知等差数列 的前 n项和为 ，若 ，且 ，则 （）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
公式：① ；② ．
【变式训练】
1．若 是等差数列，且 是方程 的两个根，则 （）
A．4046 B．4044 C．D．
2．已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，则 ___________.
3．已知等差数列 满足： ， ，其前 n项和为 .求数列 的通项公式 及 .
考点 2：由等差数列前 n项和判断数列是否为等差数列
例2．（多选）在下列四个式子确定数列 是等差数列的条件是（）
A． （ ， 为常数， ）； B． （ 为常数， ）；
C． ； D． 的前 项和 （ ）.
【方法技巧】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【变式训练】
1．已知数列 的前 n项和是 .当________时， 是公差 ________的等差数列.
考点 3：等差数列前 n项和求通项
例3．（多选）已知数列{ }的前 n项和为 ，则下列说法正确的是（）．
A． 是递增数列 B． 是递减数列
C．D．数列 的最大项为 和
【方法技巧】
根据 ，利用二次函数的性质判断 D，利用数列通项和前 n项和关系求得通项公式判断 ABC.
【变式训练】
1．设数列 前 n项和为 ， ，求数列 的通项公式．
2．已知数列 的前 项和为 ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它
的首项与公差分别是什么？
3．已知数列 的前 项和为 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，试判断 是否为等差数列，并说明理由．
考点 4：含绝对值的等差数列前 n项和
例4．在等差数列 中， ， ，求数列 的前 n项和 ．
【方法技巧】
根据已知条件列方程组求出 ，再求出 ，然后可判断数列 的前 5项为正，其余各项为负，再分
和 两种情况求解 .
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