《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》4.2.2 等差数列的前n项和公式（解析版）

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4.2.2 等差数列的前 n项和公式
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：求等差数列前 n项和；数列前 n项和判断数列是否为等差数列；等
差数列前 n项和求通项；含绝对值的等差数列前 n项和；等差数列前 n和的性质；两个等差数列前 n项和
的比；等差数列前 n项和的二次函数特征；求等差数列前 n项和的最值；等差数列前 n项和求参数；等差
数列奇数项或偶数项的和；等差数列的应用
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
等差数列的前 项和的公式
公式：① ；② ．
公式特征： 是一个关于 n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前 项和的性质：
①若项数为 ，则 ，且 ， ．
②若项数为 ，则 ，且 ，
（其中 ， ）．
③ ， ， 成等差数列．
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an+1−an=d(常数）（n∈N¿）
⇒
{
an
}
是等差数列
②中项法：
A+B+C=π , A+B+C
2=π
2 , A+B
2=π
2 - C
2
Sin
(
A+B
)
=Sin
(
C
)
C o s
(
A+B
)
=−Cos
(
C
)
Sin
(
A+B
2
)
=Cos
(
C
2
)
Cos
(
A+B
2
)
=Sin
(
C
2
)
{
an
}
是等差数列
③通项公式法：
an=kn+b(k , b 为常数)
{
an
}
是等差数列
④前
Sin
(
α+β
)
=Sin αCos β +Cosα Sin β , S (α+β)
Sin
(
α−β
)
=Sin α Cosβ −Cos αSin β , S(α−β)
项和公式法：
Cos
(
α+β
)
=Cos α Cos β−S in α Sin β , C(α+β)
Cos
(
α−β
)
=Cos α Cos β+Sin α Sin β , C(α−β)
tan
(
α+β
)
=tan α+tan β
1−tan αtan β , T(α+β)
tan
(
α−β
)
=tan α−tan β
1+tan αtan β , T(α−β)
⇒
Sin 2α=2Sin α Cos α
Cos2α=2Cos2α−1=1−2Sin2α=Cos2α−Sin2α
tan 2 α=2 tan α
1−tan 2α
是等差数列
考点讲解
考点 1：求等差数列前 n项和
例1．已知等差数列 的前 n项和为 ，若 ，且 ，则 （）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】方法一：∵ ∴
∴
∴
，
方法二：由于 是二次函数 ,当 时的函数值 ，根据二次函数的对
称性，由 可知， 的关于 对称，因此 ，
故选:B
【方法技巧】
公式：① ；② ．
【变式训练】
1．若 是等差数列，且 是方程 的两个根，则 （）
A．4046 B．4044 C．D．
【答案】C
【分析】由题可得 ，然后利用等差数列的性质及求和公式即得.
【详解】因为 是方程 的两个根，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
2．已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，则 ___________.
【答案】55
【分析】根据等差数列性质可求得 ，化简 ，即可求得答案.
【详解】由题意知数列 为等差数列，设公差为 d， ，
则 ，即 ，
所以 ，
故答案为：55
3．已知等差数列 满足： ， ，其前 n项和为 .求数列 的通项公式 及 .
【答案】 ，
【分析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则由题意可得 ，从而解出 与 的值即可得
出数列 的通项公式 及 ．
【详解】解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，依题意可得 ，
解得 ，
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