《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》4.2.1 等差数列的概念（解析版）

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4.2.1 等差数列的概念
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断是否为等差数列；用定义法求等差数列通项公式；等差数列通
项公式基本量计算；等差中项；等差数列的性质；等差数列的单调性；等差数列的最大（小）项；利用等
差数列通项公式求等差数列中的项
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
等差数列
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个
数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示：
2、通项公式：若等差数列 的首项是 ，公差是 ，则 ．
通项公式的变形：① ；② ．
通项公式特点：
an=kn+m，（ k , m为常数 )
是数列
{
an
}
成等差数列的充要条件。
3、等差中项
若三个数 ， ， 组成等差数列，则 称为 与 的等差中项．若 ，则称 为 与 的
等差中项．即 a、b、c成等差数列
4、等差数列
{
an
}
的基本性质
(其中m , n , p , q ∈N¿)
（1）
m若+n=p+q，则am+an=ap+aq
。
（2）
an−am=(n−m)d
（3）
2an=an−m+an+m
5、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
考点讲解
考点讲解
①定义法：
an+1−an=d(常数）（n∈N¿）
⇒
{
an
}
是等差数列
②中项法：
A+B+C=π , A+B+C
2=π
2 , A+B
2=π
2 - C
2
Sin
(
A+B
)
=Sin
(
C
)
Co s
(
A+B
)
=−Cos
(
C
)
Sin
(
A+B
2
)
=Cos
(
C
2
)
Cos
(
A+B
2
)
=Sin
(
C
2
)
{
an
}
是等差数列
③通项公式法：
an=kn+b(k , b 为常数)
⇒
{
an
}
是等差数列
考点 1：判断是否为等差数列
1．下列数列中，不成等差数列的是（）．
A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，aD． ， ， ，
【答案】B
【详解】对于 A，因为第 2项起，后一项与前一项的差是同一个常数 3，所以此数列是等差数列，所以 A不
合题意，
对于 B，因为 ， ，即 ，所以此数列不是等差数，
所以 B符合题意，
对于 C，因为第 2项起，后一项与前一项的差是同一个常数 0，所以此数列是等差数列，所以 C不合题意，
对于 D，数列 ， ， ， 可表示为 ， ， ， ，因为第 2项起，后
一项与前一项的差是同一个常数 1，所以此数列是等差数列，所以 D不合题意，
故选：B
【方法技巧】
根据等差数列的定义逐个分析判断即可.
【变式训练】
1．“a，b，c成等差数列”是“ ”的（）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．
【详解】若“a，b，c成等差数列”，则“ ”，即“a，b，c成等差数列”是“ ”的
充分条件；
若“ ”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“ ”的必要条件，
综上可得：“a，b，c成等差数列”是“ ”的充要条件，
故选：C．
2．数列 满足 ，且 ，则它的通项公式 ______．
【答案】 ##
【分析】根据给定条件，结合等差数列定义求出公差，再求出通项作答.
【详解】因数列 满足 ，即 ，
因此数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，
所以数列 的通项公式为 .
故答案为：
3．在等差数列 中， ， ．
(1)求 的值；
(2)2022 是否为数列 中的项？若是，则为第几项？
【答案】(1)8082
(2)2022 是数列 中的第 506 项
【分析】（1）根据条件求出数列 的通项公式即可求解；
（2）令 可求解.
(1)
由题意，设等差数列 的首项为 ，公差为 ．
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