《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.3.2 抛物线的简单几何性质（原卷版）

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3.3.2 抛物线的简单几何性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：抛物线定义辨析；求抛物线的轨迹；抛物线求焦点或方程；抛物
线上的点到定点的距离与最值；抛物线的焦半径公式；抛物线的实际应用；抛物线方程求参数。
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一．抛物线的几何性质：
图形
参数 p 几何意义 参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.
开口方向 右 左 上 下
标 准方 程
焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负
焦 点坐 标
准 线方 程
范 围
对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴
顶 点坐 标 （0,0）
离心率
通 径 2p
焦半径
焦点弦长
二、焦点弦的相关性质：焦点弦
AB
，
A(x1, y1)
,
B(x2, y2)
，焦点
考点讲解
x
y
O
l
Fx
y
O
l
F
l
F
x
y
O
x
y
O
l
F
(1) 若 AB 是抛物线 的焦点弦（过焦点的弦），且 ， ，则： ，
。
(2) 若 AB 是抛物线 的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为 α，则 （α≠0）。
(3) 已知直线 AB 是过抛物线 焦点 F ,
(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂
足为直径端点的圆与焦点弦相切。
三、切线方程
考点 1：抛物线的范围
例1．（多选）已知平面内到定点 比它到定直线 ： 的距离小 1的动点的轨迹为曲线 ，则下
列说法正确的是（）
A．曲线 的方程为 B．曲线 关于 轴对称
C．当点 在曲线 上时， D．当点 在曲线 上时，点 到直线 的距离
【方法技巧】
由抛物线的定义可知曲线 的轨迹是抛物线，进而可判断 A,根据抛物线的性质可判断 B,C,D.
【变式训练】
图象
y2=2px (p>0)
y2=−2px (p>0)
x2=2py (p>0)
切线方程
1．已知点（x，y）在抛物线 y2=4x上，则 的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．0
2．已知过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，点 ，若直线 ， 的斜率分别为
， ，则 的取值范围是（）
A．B．
C．D．
3．已知 ， ， 是抛物线 ： 上一点，则 的最小值是______．
考点 2：求抛物线的对程轴
例2．（多选）关于抛物线 ，下列说法正确的是（）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴
【方法技巧】
根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【变式训练】
1．下列命题中正确的是（）
A．抛物线 的焦点坐标为 ．
B．抛物线 的准线方程为 x =−1．
C．抛物线 的图象关于 x 轴对称．
D．抛物线 的图象关于 y 轴对称．
2．抛物线 的对称轴是直线
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