《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.3.1 抛物线及其标准方程（原卷版）

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考点讲解

3.3.1 抛物线及其标准方程

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：抛物线定义辨析；求抛物线的轨迹；抛物线求焦点或方程；抛物

线上的点到定点的距离与最值；抛物线的焦半径公式；抛物线的实际应用；抛物线方程求参数。

3. 课堂知识小结

4. 考点巩固提升

知识归纳

一、抛物线的定义：

平面内与一个定点 F 和一条定直线

的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线

叫做抛物线的

准线。{

M||MF|

=点 M 到直线

的距离} （一动三定）（注：定点 F 不在定直线上，否则动点的轨迹是过定点 F 垂直于直线

的一条直线）（一焦一顶一轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；

是焦点 F 到

的距离，

越大开口越大，反之越小。

二．抛物线的几何性质：

图形

参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.

开口方向右左上下

标准方程

焦点位置 X 正 X 负 Y 正 Y 负

焦点坐标

准线方程

考点 1：抛物线定义辨析

例1．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为 1，则动点的轨迹是（）

A．抛物线 B．直线

C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确

考点讲解

【方法技巧】

根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解.

【变式训练】

1．抛物线 W：的焦点为 F.对于 W上一点 P，若 P到直线的距离是 P到点 F距离的 2倍，则点

P的横坐标为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若

，则（）

A．2 B．C．D．4

3．已知抛物线的焦点为 F，准线为 l，与 x轴平行的直线与 l和C分别交于 A，B两点，且若

，则（）

A．2 B．C．D．4

考点 2：求抛物线的轨迹

例2．若点满足方程，则点 P的轨迹是______．

【方法技巧】

根据轨迹方程所代表的意义判断点的轨迹满足曲线的定义.

【变式训练】

1．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（）

A．B．C．D．

2．已知动圆 M与直线相切，且与定圆 C：外切，那么动圆圆心 M的轨迹方程为____

___.

3．若抛物线的焦点是，准线方程为，则抛物线的标准方程是______．

4．已知抛物线上的两点到焦点的距离之和为 5，线段的中点的横坐标是 2，则

＝______．

考点 3：抛物线求焦点或准线

例3．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为 2，则（）

A．1

B．2

C．4

D．6

【方法技巧】

根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.

【变式训练】

1．与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．

2．已知点为抛物线的焦点，经过点的直线交于两点，交轴于点，若，

则点的纵坐标为___________.

3．已知圆与抛物线的准线相切，则 ___________.

考点 4：抛物线上的点到定点的距离与最值

例4．若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则 ______．

【方法技巧】

确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求得答案.

【变式训练】

1．抛物线上任意一点 P到点的距离最小值为___________.

2．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则

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