《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.2.2双曲线简单的几何性质（原卷版）

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3.2.2 双曲线简单的几何性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求双曲线的焦距；共焦点双曲线；求双曲线中的范围或最值；点
和双曲线的位置关系；双曲线的对称性；双曲线的实轴/虚轴；等轴双曲线；双曲线的渐近线；双曲线的离
心率；双曲线的实际应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 或 ， 或 ，
顶点 、 、
轴长 虚轴的长 RRRR实轴的长
焦点 、 、
焦距
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
考点讲解
离心率 ， 越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程
三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
考点 1：求双曲线的焦距
例1．若双曲线 的焦距等于虚轴长的 3倍，则 的值为______．
【方法技巧】
1.理解焦距的概念
2.把理论转化为实际
【变式训练】
【变式 1】．双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距
离为（）
A．B．C．4 D．
【变式 2】．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线 的焦距等于_________.
考点 2：共焦点双曲线
例2（多选）．过点 且与椭圆 有相同焦点的圆锥曲线方程为（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法和双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，考查计算能力．
求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用圆锥曲线经过的点，求解即可．
【变式训练】
【变式 1】．已知双曲线 与 共焦点，则 的渐近线方程为（）
A．B．
C．D．
【变式 2】．已知双曲线 与椭圆 有公共焦点，且它的一条渐近线方程为 .
(1)求椭圆 的焦点坐标；
(2)求双曲线 的标准方程．
考点 3：求双曲线中的范围或最值
例3．曲线 ，则（）
A．C上的点 满足 ， B．C关于 x轴、y轴对称
C．C与x轴、y轴共有 3个公共点 D．C与直线 只有 1个公共点
【方法技巧】
1.结合点在曲线上，转化为函数最值问题.
2.去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断.
【变式训练】
【变式 1】．已知点 P是双曲线 上的动点，过原点 O的直线 l与双曲线分别相交于 M、N两点，
则 的最小值为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式 2】．已知双曲线 的右焦点为 F，且 P是双曲线上一点，写出 的最小值．
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