《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.2.2双曲线简单的几何性质（解析版）
3.2.2 双曲线简单的几何性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求双曲线的焦距；共焦点双曲线；求双曲线中的范围或最值；点
和双曲线的位置关系；双曲线的对称性；双曲线的实轴/虚轴；等轴双曲线；双曲线的渐近线；双曲线的离
心率；双曲线的实际应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 或 ， 或 ，
顶点 、 、
轴长 虚轴的长 RRRR实轴的长
焦点 、 、
焦距
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
考点讲解
离心率 ， 越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程
三、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
考点 1：求双曲线的焦距
例1．若双曲线 的焦距等于虚轴长的 3倍，则 的值为______．
【答案】
【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到 ， ，根据题意列出方程，求出 的
值.
【详解】 化为标准方程： ，
则 ，故 ，则可得： ，
解得： ，
故答案为：
【方法技巧】
1.理解焦距的概念
2.把理论转化为实际
【变式训练】
【变式 1】．双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线上，若 ，则点 到 轴的距
离为（）
A．B．C．4 D．
【答案】B
【分析】设点 ，根据题意得 ，进而与双曲线方程联立得 ，即可得答案.
【详解】设点 ，由双曲线 可知 、 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
代入双曲线方程 ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 到 轴的距离是 ．
故选：B．
【变式 2】．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线 的焦距等于_________.
【答案】
【分析】由双曲线方程和渐近线可求出 ，再由 可求出 ，从而可求出焦距.
【详解】由双曲线 ，得其渐近线方程为 ，
因为双曲线的渐近线方程为 ，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以双曲线的焦距为 ，
故答案为：
考点 2：共焦点双曲线
例2（多选）．过点 且与椭圆 有相同焦点的圆锥曲线方程为（）
A．B．C．D．
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