《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.2.1 双曲线及其标准方程（原卷版）

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考点讲解
3.2.1 双曲线及其标准方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中
x,y 的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一、定义：平面内与两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（小于
）的点的轨迹称为双曲线．即： 。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
考点 1：双曲线定义辨析
例1．双曲线 上一点 与它的一个焦点的距离等于 1，那么点 与另一个焦点的
距离等于___________.
【方法技巧】
根据双曲线的定义可求点 与另一个焦点的距离.
【变式训练】
【变式 1】．已知平面内两定点 ， ，下列条件中满足动点 的轨迹为双
曲线的是（）
A．B．
C．D．
【变式 2】．已知双曲线 的两个焦点分别为 、 ， 为双曲线上一点，且
，则 的面积为_________.
【变式 3】．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，在双曲线的右支存在一点
，使 ，求点 的坐标．
考点 2：利用双曲线定义求方程
例2．数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题
可以转化为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问题，可以转化为
点A（x，y）与点 B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程
的解是（　　）
A．B．C．D．
【方法技巧】
根据题意给的概念可知所求方程表示点（x,1）到定点（-3,0）和（3,0）的距离之差等于
4，结合双曲线的定义求出双曲线方程，令 ，求出 x即可.
【变式训练】
【变式 1】．已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点 与 ，
的距离差的绝对值等于 6，则双曲线的标准方程为（）
A．B．C．D．
【变式 2】．已知平面内两定点 ， ，动点 M满足 ，则点 M
的轨迹方程是___________.
【变式 3】．若动圆与两定圆 及 都外切，则动圆圆心的轨迹
方程是___________.
考点 3：利用双曲线的定义求到焦点的距离及最值
例3．已知双曲线 ： ，点 是 的左焦点，若点 为 右支上的动点，设点
到 的一条渐近线的距离为 ，则 的最小值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【方法技巧】
根据双曲线的定义，结合点到直线的距离最短，求解即可.
【变式训练】
【变式 1】．双曲线 上一点 P到它的一个焦点的距离等于 6，那么点 P到另一个
焦点的距离为（）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【变式 2】．已知双曲线 是其左右焦点.圆 ，点 P
为双曲线 C右支上的动点，点 Q为圆 E上的动点，则 的最小值是（）
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