《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.2.1 双曲线及其标准方程（解析版）

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考点讲解

3.2.1 双曲线及其标准方程

备注：资料包含：1. 基础知识归纳；

2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中

x,y 的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用

3. 课堂知识小结

4. 考点巩固提升

知识归纳

一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于

）的点的轨迹称为双曲线．即：。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

二、双曲线的几何性质：

焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上

图形

标准方程

考点 1：双曲线定义辨析

例1．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于 1，那么点与另一个焦点的

距离等于___________.

【答案】17

【详解】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故 .

因为点与一个焦点的距离等于 1，而，

故点与该焦点同在轴的上方或下方，

故点与另一个焦点的距离为，

故答案为： .

【方法技巧】

根据双曲线的定义可求点与另一个焦点的距离.

【变式训练】

【变式 1】．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双

曲线的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】由双曲线的定义即可求解.

【详解】解：由题意，因为，

所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，

故选：C.

【变式 2】．已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且

，则的面积为_________.

【答案】9

【分析】利用双曲线定义结合勾股定理求出，再计算面积作答.

【详解】依题意，双曲线的焦点、，，

因，则有，

即有，解得，

所以的面积 .

故答案为：9

【变式 3】．已知双曲线的左，右焦点分别为，，在双曲线的右支存在一点

，使，求点的坐标．

【详解】解：由双曲线得，右准线方程为，

双曲线的右支存在一点，

由，，解得，

设d为点到准线的距离，则由双曲线的定义可得：，

所以，，又，解得，

代入得，

所以．

考点 2：利用双曲线定义求方程

例2．数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题

可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为

点A（x，y）与点 B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程

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