《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.1.2 椭圆的简单几何性质（解析版）

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3.1.2 椭圆的简单几何性质
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中 x,y 的取值范围；
椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
椭圆的简单几何性质
椭圆：
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
：说明：把
x
换成
−x
、或把
y
换成
、或把
x
、
y
同时换成
−x
、
−y
、原方程都不变，所以椭圆
x2
a2+y2
b2=1
是以
x
轴、
y
轴为
对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的
中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线
x=±a
和
y=±b
所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足
|x|≤a
，
|y|≤b
。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
A1(−a ,0)
，
A2(a , 0)
，
B1(0,−b)
，
B2(0, b )
　　
③线段
A1A2
，
B1B2
分别叫做椭圆的长轴和短轴，
|A1A2|=2a
,
|B1B2
|=2b
。
e=2c
2a=c
a
和
b
分
别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：
　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用
e
表示，记作
e=2c
2a=c
a
。
　②因为
(a>c>0)
，所以
e
的取值范围是
(0<e<1)
。
e
越接近 1，则
c
就越接近
a
，从而
b=
√
a2−c2
越小，因此椭圆越扁；反之，
e
越接近于 0，
c
就越接近 0，从而
b
越接近于
a
，
这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当
a=b
时，
c=0
，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程
为
x2+y2=a
。注意：　　椭圆
x2
a2+y2
b2=1
的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）
(|PF1|+|PF2|=2a)
；
|PF1|
|PM1|=|PF2|
|PM 2|=e
；
(|PM1|+|PM 2|=2a2
c)
；
　　（2）
(|BF1|=|BF2|=a)
；
(|OF1|=|OF 2|=c)
；
|A1B|=|A2B|=
√
a2+b2
；
　　（3）
|A1F1
|=|A2F2|=a−c
；
|A1F2|=|A2F1|=a+c
；
a−c≤|PF1|≤a+c
；
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 且且
顶点
、
、
、
、
轴长 短轴的长 LLLL长轴的长
焦点 、 、
考点讲解
焦距
对称性 关于 轴、 轴、原点对称
离心率 e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a
考点 1：求椭圆焦点,焦距
例1．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是圆 上的一个动点，则
的取值范围是_________.
【答案】[3，5]
【详解】 椭圆方程
椭圆的焦点
由 在圆 上，设 ，
•
的取值范围[3，5].
故答案为：[3,5].
【方法技巧】
求出椭圆焦点坐标，用三角换元法表示点 坐标，计算距离的积，利用三角函数性质得取值范围．
【变式训练】
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