《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》3.1.1椭圆及其标准方程（原卷版）

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考点讲解
3.1.1 椭圆及其标准方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
考点分析及解题方法归纳：考点包含：椭圆定义及辨析;判断是否为椭圆;利用椭圆定义求方
程;椭圆中焦点三角形周长问题;椭圆中焦点三角形面积问题;椭圆中焦点到定点的和、差距
离和最值;根据椭圆方程求参数;椭圆的轨迹问题
2. 课堂知识小结
3. 考点巩固提升
知识归纳
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点
P
到两个定点
F1
、
F2
的距离之和等于常数
(|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|)
,这个动
点
P
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若
(|PF1|+|PF2|=|F1F2|)
，则动点
P
的轨迹为线段
F1F2
；
　　　　　若
，则动点
P
的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在
x
轴上时，椭圆的标准方程：
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
，其中
c2=a2−b2
2．当焦点在
y
轴上时，椭圆的标准方程：
y2
a2+x2
b2=1
(a>b>0)
，其中
c2=a2−b2
；注
意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准
方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有
(a>b>0)
和
c2=a2−b2
；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在
x
轴上时，椭圆的焦点坐标为
(c ,0)
，
(−c , 0)
；
当焦点在
y
轴上时，椭圆的焦点坐标为
(0, c )
，
(0,−c)
考点 1：椭圆定义及辨析
例1．如图， ， 分别是椭圆的左、右焦点，点 P是以 为直径的圆与椭圆在第一象
限内的一个焦点，延长 与椭圆交于点 Q，若 ，则直线 的斜率为（）
A．－4 B．－3 C．D．－2
【方法技巧】
根据椭圆的定义，结合勾股定理、圆的性质、锐角三角函数定义、斜率与倾斜角的关系进
行求解即可.
【变式训练】
1．已知椭圆 的左 右焦点分别为､，点 为椭圆 的上顶点，直线
与椭圆 的另一个交点为 ，若 ，则 ___________.
2．若椭圆 上一点 到焦点 的距离为 ，则点 到另一焦点 的距离为______．
3．若动点 的坐标 满足方程 ，试判断动点
的轨迹，并写出其标准方程．
考点 2：判断是否为椭圆
例2．设方程① ；② ．其
中表示椭圆的方程是______．
【方法技巧】
根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可.
【变式训练】
1．已知条件 ： ，条件 ： 表示一个椭圆，则 是 的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（多选）在曲线 中，（）
A．当 时，则曲线 C表示焦点在 y轴的椭圆
B．当 时，则曲线 C为椭圆
C．曲线 C关于直线 对称
D．当 时，则曲线 C的焦距为
3．“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的______条件．
考点 3：利用椭圆定义求方程
例3．一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心
M的轨迹方程．
【方法技巧】
由圆的外切与内切，结合椭圆定义得出 点轨迹是椭圆，然后可求得其方程．
【详解】设动圆圆心为 M（x，y），半径为 R，设已知圆的圆心分别为 、 ，
【变式训练】
1．椭圆 的焦点为 ， ，与 轴的一个交点为 ，若 ，
则 （）
A．1 B．C．D．2
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