《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》2.5.2 圆与圆的位置关系（解析版）

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考点讲解
2.5.2 圆与圆的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断圆与圆的位置关系;求两圆交点的坐标；由圆的位置关系确定
确定参数或范围；圆的公共弦；圆的公切线
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
两圆的位置关系
设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，
|O1O2
|=d
。
（1）
d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线
；（2）
d=r1+r2⇔外切⇔3条公切线
；
（3）
|r1−r2
|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线
；（4）
d=|r1−r2
|⇔内切⇔1条公切线
；
（5）
0<d<|r1−r2
|⇔内含⇔无公切线
；
外离 外切 相交 内切 内含
考点 1：判断圆与圆的位置关系
例1．已知圆 和 ，则两圆的位置关系是（）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】C
【详解】由题意，知圆 的圆心 ，半径 .
圆 的方程可化为 ，则其圆心 ，半径 .
因为两圆的圆心距 ，故两圆外切.
故选：C.
【方法技巧】
由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【变式训练】
【变式 1】．已知圆 的面积被直线 平分，圆
，则圆 与圆 的位置关系是（）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】由圆 的面积被直线 平分，可得圆心在直线上，求出 ，进而利用圆心距与半径和
以及半径差的关系可得圆 与圆 的位置关系．
【详解】因为圆 的面积被直线 平分，所以圆 的圆心 在直线 上，
所以 ，解得 ，所以圆 的圆心为 ，半径为 ．
因为圆 的圆心为 ，半径为 ，所以 ，
故 ，所以圆 与圆 的位置关系是相交．
故选：B．
【变式 2】．已知两圆分别为圆 和圆 ，这两圆的位置关系是
（）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.
【详解】由题意得，圆 圆心 ，半径为 7；圆 ，圆心 ，半径为 4，
两圆心之间的距离为 ，因为 ，故这两圆的位置关系是相交.
故选：B.
【变式 3】．（多选）已知圆 的方程为 ，圆 的方程为 ，其中
a， ．那么这两个圆的位置关系可能为（）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
【答案】ABD
【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．
【详解】由题意可得圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，则 ，
所以两圆不可能内含．
故选：ABD．
考点 2：求两圆的交点坐标
例2．圆心在直线 x﹣y4﹣＝0上，且经过两圆 x2+y24﹣x3﹣＝0，x2+y24﹣y3﹣＝0的交点的圆的方程为（
）
A．x2+y26﹣x+2y3﹣＝0 B．x2+y2+6x+2y3﹣＝0
C．x2+y26﹣x2﹣y3﹣＝0 D．x2+y2+6x2﹣y3﹣＝0
【答案】A
【详解】由 解得两圆交点为 与
因为 ，所以线段 的垂直平分线斜率 ；MN 中点 P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为 y＝﹣x+2
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