《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》2.5.1 直线与圆的位置关系（解析版）

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2.5.1 直线与圆的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线与圆的位置关系判定；直线与圆的位置关系求距离的最值；
直线与圆的位置关系求参数；直线与圆的相交的性质；直线与圆中的定点定值问题；圆的切线方程；圆的
弦长与弦心距；直线与圆的应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
直线与圆的位置关系： 直线
Ax +By+C=0
与圆
(x−a)2+( y−b)2=r2
的位置关系有三种
（1）若
d=|Aa+Bb+C|
√
A2+B2
，
d>r⇔相离⇔Δ<0
；
（2）
d=r⇔相切 ⇔Δ=0
；
（3）
d<r⇔相交⇔Δ>0
。
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
{
Ax +By+C=0¿ ¿¿¿
求解，通过解的个数来判断：
（1）当方程组有 2个公共解时（直线与圆有 2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有 1个公共解时（直线与圆只有 1个交点），直线与圆相切；
（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为 Δ，圆心 C到直线 的距离为 d,则
直线与圆的
位置关系满足以下关系：
（1）相切
d=r
⇔
Δ＝0
（2）相交
d<r
⇔
Δ>0；
（3）相离
d>r
⇔
Δ<0。
圆的切线方程：圆
x2+y2=r2
的斜率为
k
的切线方程是
y=kx±
√
1+k2r
过圆
x2+y2+Dx+Ey+F=0
上一点
P(x0, y 0)
的切线方程为：
x0x+y0y+Dx+x0
2+Ey+y0
2+F=0
.
一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2.
考点讲解
特别地，过圆
x2+y2=r2
上一点
P(x0, y 0)
的切线方程为
x0x+y0y=r2
.
若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则
{
y1−y0=k(x1−x0)¿¿¿¿
，联立求出
k⇒
切线方程.
考点 1：直线与圆的位置关系判定
例1．圆 x2＋y2－2x＋4y＝0与直线 2x+y+1＝0的位置关系为（　 　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】判断圆 x2＋y2－2x＋4y＝0与直线 2x+y+1＝0的位置关系即可.
【详解】圆 x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为 ，半径
圆心 到直线 2x+y+1＝0的距离
由 ，可得圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
【方法技巧】
利用圆心到直线的距离与半径的大小关系
【变式训练】
【变式 1】．直线 绕原点按逆时针方向旋转 后所得的直线 l与圆 的位置关
系是（ ）
A．直线 l过圆心 B．直线 l与圆相交，但不过圆心
C．直线 l与圆相切 D．直线 l与圆无公共点
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线 l的方程，再求出圆心到直线 l的距离判断作答.
【详解】直线 过原点，斜率为 ，倾斜角为 ，依题意，直线 l的倾斜角为 ，斜率为 ，
而l过原点，
因此，直线 l的方程为： ，又圆 的圆心为 ，半径为 ，
于是得点 到直线 l的距离为 ，所以直线 l与圆相切.
故选：C
【变式 2】．圆 与直线 的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【分析】由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系可得.
【详解】将圆的方程化为标准方程： ，
得圆心坐标为 ，半径
则圆心到直线的距离
因为 ，所以圆与直线相离.
故选：B
【变式 3】．（多选）已知圆 ，则下列曲线一定与圆 有公共点的是（ ）
A．过原点的任意直线
B．
C．
D．以 为圆心且半径超过 3的圆
【答案】AC
【分析】 选项，根据点与圆的位置关系判断； 选项，根据点到直线距离判断；C选项，根据圆心距
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