《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》2.4圆的方程（原卷版）

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考点讲解
2.4 圆的方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：圆的标准方程；圆的一般方程；点和圆的位置关系；圆的几何性
质；圆---求轨迹
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一．圆的标准方程：以点
C(a ,b )
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x−a)2+( y−b)2=r2
.
特例：圆心在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x2+y2=r2
.
二．点与圆的位置关系：
1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：
(1)点在圆上 d=r； (2)点在圆外 d＞r； (3)点在圆内 d＜r．
2.给定点
M(x0, y 0)
及圆
C:(x−a)2+( y−b)2=r2
.
①
在圆
C
内
⇔(x0−a)2+( y0−b)2<r2
②
M
在圆
C
上
⇔（x0−a)2+( y0−b)2=r2
③
在圆
C
外
⇔(x0−a)2+( y0−b)2>r2
三．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
.
当
D2+E2−4F>0
时，方程表示一个圆，其中圆心
C
(
−D
2,−E
2
)
，半径
r=
√
D2+E2−4F
2
.
当
D2+E2−4F=0
时，方程表示一个点
(
−D
2,−E
2
)
.
当
D2+E2−4F<0
时，方程无图形（称虚圆）.
注：（1）方程
Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey +F=0
表示圆的充要条件是：
B=0
且
A=C≠0
且
D2+E2−4AF≻0
.
圆的直径或方程：已知
A(x1, y 1)B(x2, y 2)⇒( x−x1)( x−x2)+( y−y1)( y−y2)=0
考点 1：圆的标准方程
例1．圆心在坐标原点，半径为 2的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
1.以点
C(a ,b )
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x−a)2+( y−b)2=r2
.
2.特例：圆心在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x2+y2=r2
.
【变式训练】
【变式 2】．已知圆的方程为 x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．π D．4π
【变式 3】．已知圆方程 的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【变式 4】．已知实数 x，y满足 ，则 x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．以上答案都不对
考点 2：圆的一般方程
例2．与圆 同圆心，且过点 的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
x2+y2+Dx+Ey+F=0
.
当
D2+E2−4F>0
时，方程表示一个圆，其中圆心
C
(
−D
2,−E
2
)
，半径
r=
√
D2+E2−4F
2
.
当
D2+E2−4F=0
时，方程表示一个点
(
−D
2,−E
2
)
.
当
D2+E2−4F<0
时，方程无图形（称虚圆）.
注：（1）方程
Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey +F=0
表示圆的充要条件是：
B=0
且
A=C≠0
且
D2+E2−4AF≻0
.
圆的直径或方程：已知
A(x1, y 1)B(x2, y 2)⇒( x−x1)( x−x2)+( y−y1)( y−y2)=0
【变式训练】
【变式 1】．设甲：实数 ；乙：方程 是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 2】．方程 所表示圆的圆心与半径分别为（ ）
A．B．C．D．
【变式 3】．若曲线 ： 表示圆，则实数 的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考点 3：点与圆的位置关系
例3．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.
甲：该圆经过点 .
乙：该圆的半径为 .
丙：该圆的圆心为 .
丁：该圆经过点 ，
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