《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》2.4圆的方程（解析版）

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考点讲解
2.4 圆的方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：圆的标准方程；圆的一般方程；点和圆的位置关系；圆的几何性
质；圆---求轨迹
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一．圆的标准方程：以点
C(a ,b )
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x−a)2+( y−b)2=r2
.
特例：圆心在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x2+y2=r2
.
二．点与圆的位置关系：
1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：
(1)点在圆上 d=r； (2)点在圆外 d＞r； (3)点在圆内 d＜r．
2.给定点
M(x0, y 0)
及圆
C:(x−a)2+( y−b)2=r2
.
①
在圆
C
内
⇔(x0−a)2+( y0−b)2<r2
②
M
在圆
C
上
⇔（x0−a)2+( y0−b)2=r2
③
在圆
C
外
⇔(x0−a)2+( y0−b)2>r2
三．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
.
当
D2+E2−4F>0
时，方程表示一个圆，其中圆心
C
(
−D
2,−E
2
)
，半径
r=
√
D2+E2−4F
2
.
当
D2+E2−4F=0
时，方程表示一个点
(
−D
2,−E
2
)
.
当
D2+E2−4F<0
时，方程无图形（称虚圆）.
注：（1）方程
Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey +F=0
表示圆的充要条件是：
B=0
且
A=C≠0
且
D2+E2−4AF≻0
.
圆的直径或方程：已知
A(x1, y 1)B(x2, y 2)⇒( x−x1)( x−x2)+( y−y1)( y−y2)=0
考点 1：圆的标准方程
例1．圆心在坐标原点，半径为 2的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接写出标准方程，即可得到答案.
【详解】圆心在坐标原点，半径为 2的圆的标准方程为 .
故选：B
【方法技巧】
1.以点
C(a ,b )
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x−a)2+( y−b)2=r2
.
2.特例：圆心在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x2+y2=r2
.
【变式训练】
【变式 2】．已知圆的方程为 x2+y2=4，那么这个圆的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．π D．4π
【答案】D
【分析】根据圆的半径求得圆的面积.
【详解】圆 的半径为 ，所以面积为 .
故选：D
【变式 3】．已知圆方程 的圆心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标；
【详解】解：因为 ，即 ，
所以圆心坐标为 ；
故选：C
【变式 4】．已知实数 x，y满足 ，则 x的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】将方程化为圆的标准形式，确定圆心和半径，结合圆的性质求 x的最大值.
【详解】由 ，则圆心为 ，半径为 ，
所以 x的最大值出现在圆心的正右方，点 位置，故最大值是 1.
故选：C
考点 2：圆的一般方程
例2．与圆 同圆心，且过点 的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为 ,代入点即可求解.
【详解】设所求圆的方程为 ，由该圆过点 ，得 m＝4，
所以所求圆的方程为 .
故选：B
【方法技巧】
x2+y2+Dx+Ey+F=0
.
当
D2+E2−4F>0
时，方程表示一个圆，其中圆心
C
(
−D
2,−E
2
)
，半径
r=
√
D2+E2−4F
2
.
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