《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》2.1.2两条直线平行和垂直的判定（解析版）

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考点讲解
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：集合的基本概念；元素与集合的关系；用列举法表示集合；用描
述法表示集合；集合中元素的特性及求参
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一．两条直线平行的判定
（1）
平行： 且 （注意验证 ）
（2）
平行： 且 （验证）
（3）当斜率不存在时，两直线平行，倾斜角为 90.
二．两条直线垂直的判定
（1）
垂直：
（2）
垂直：
（3）当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为 0.
三．平行和垂直直线的求法
与直线 平行的直线可设为：
直线 垂直的直线可设为：
考点 1：由斜率判断两条直线平行
例1．若 与 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 ， ，斜率分别为 ， ，则下列命题
①若 ，则斜率 ；②若斜率 ，则 ；
③若 ，则倾斜角 ；④若倾斜角 ，则 ；
其中正确命题的个数是______．
【答案】
【详解】解：因为 与 为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为 ， ，斜率分别为 ， .
①由于斜率都存在，若 ，则 ，此命题正确；
②因为两直线的斜率相等即斜率 ，得到倾斜角的正切值相等即 ，即可得到 ，所以
，此命题正确；
③因为 ，根据两直线平行，得到 ，此命题正确；
④因为两直线的倾斜角 ，根据同位角相等，得到 ，此命题正确；
所以正确的命题个数是 4．
故答案为： ．
【方法技巧】
1，
平行： 且 （注意验证 ）
2.
平行： 且 （验证）
3.当斜率不存在时，两直线平行，倾斜角为 90.
4.根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可；
【变式训练】
【变式 1】．下列说法中正确的是（）
A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行
B．若 ，则
C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交
D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行
【答案】C
【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；
若 ，则 或 ， 的斜率都不存在，B错误；
若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；
若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．
故选：C.
【变式 2】．设直线 （ 、 不同时为零）， （ 、 不同时为零），
则“ 、 相交”是“ ”的（）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】分 均不为 0和 有且只有一个为 0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论.
【详解】当直线斜率都存在即 均不为 0时，若“ 、 相交”，则两直线的斜率不相等，得 ，
即 ，当直线斜率有一个不存在即 有且只有一个为 0时， 也成立，故充分性成立；
反之， 均不为 0时，若“ ”，则 ，则两直线的斜率不相等，即 、 相交，
有且只有一个为 0时， 、 也相交，故必要性成立；综上，则“ 、 相交”是“ ”的充要条
件，
故选：C.
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