《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》2.1.1 倾斜角与斜率（解析版）

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考点讲解
2.1.1 倾斜角与斜率
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线的倾斜角；直线的斜率；已知两点求斜率；已知斜率求参数；
斜率公式的应用；直线与线段相交关系求斜率的范围
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
（1）直线的倾斜角： 当直线 l 与x轴相交时，我们取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所
成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
(2)直线的倾斜角范围：
注：确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角，
二者缺一不可．
(3) 斜率：一条直线的倾斜角 a的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率与倾斜角的关系：
(4) 两点的斜率公式： ，则
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；
（2）特别地，倾斜角为 的直线斜率为 ；倾斜角为 的直线斜率不存在。
考点 1：直线的倾斜角
例1（多选）．下列四个命题中，错误的有（•••••••）
A．若直线的倾斜角为 ，则
B．直线的倾斜角 的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.
【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是 ，即 ，所以 ，
当 时直线的斜率 ，故 A、C均错误；B正确；
对于 D：若直线的斜率 ，此时直线的倾斜角为 ，故 D错误；
故选：ACD
【方法技巧】
1.。理解倾斜角的定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所
成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角。
2.根据定义座谈
【变式训练】
【变式 1】．直线 的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由倾斜角的定义直接求解即可.
【详解】因为直线 的倾斜角正切值为 1，所以倾斜角为 .
故选：A.
【变式 2】．直线 l： 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】由题知 ，然后利用两角差的正切公式即得.
【详解】由题可知 ，
所以 .
故选：D.
考点 2：直线的斜率
例2．如图，已知直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题图知直线 的倾斜角为钝角，∴ ．
又直线 ， 的倾斜角均为锐角，且直线 的倾斜角较大，
∴ ，
∴ ．
故选：D
【方法技巧】
1.一条直线的倾斜角 a的正切值叫做这条直线的斜率.
2.根据倾斜角的大小结合斜率与倾斜角的关系判断即可
【变式训练】
【变式 1】．已知直线 的斜率为 ，直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的 2倍，则直线 的斜率是
（ ）
A．B．－1 C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，结合正切的二倍角公式求解即可.
【详解】设直线 的倾斜角为 ．因为直线 的斜率为 ，即 ，
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