《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（原卷版）

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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：两点间的距离；点到直线的距离；点到平面的距
离；直线到平面的距离；平面到平面的距离；异面直线的距离；线线夹角；线面夹角；面
面夹角
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
一、利用法向量求空间距离
⑴点 Q 到直线 距离
若 Q 为直线 外的一点, 在直线 上， 为直线 的方向向量， = ，则点 Q 到直线
距离为
⑵点A到平面 的距离
若点 P为平面 外一点，点 M为平面 内任一点，平面 的法向量为 ，则 P到平面
的距离就等于 在法向量 方向上的投影的绝对值.
即
⑶直线 与平面 之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平
面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。 即
⑷两平行平面 之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即
⑸异面直线间的距离
设向量 与两异面直线 都垂直， 则两异面直线 间的距离 就是
在向量 方向上投影的绝对值。 即
二．利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知 为两异面直线，A，C与B，D分别是 上的任意两点， 所成的角为 ，
则
⑵求直线和平面所成的角
求法：设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，直线与平面所成的角为 ， 与
的夹角为 ，　则 为 的余角或 的补角
OA
B
O
A
B
l
考点讲解
的余角.即有：
⑶求二面角
二面角的平面角是指在二面角
α−l−β
的棱上任取一点 O，分别在两个半平面内作
射线
AO⊥l , BO ⊥l
，则
∠AOB
为二面角
α−l−β
的平面角.
如图：
求法：设二面角 的两个半平面的法向量分别为 ，再设 的夹角为
，二面角 的平面角为 ，则二面角 为 的夹角 或其补角
根据具体图形确定 是锐角或是钝角：
如果 是锐角，则 ， 即 ；
如果 是钝角，则 ， 即 .
考点 1：两点之间的距离
例1．已知直三棱柱 中， ， 为
中点， 为 中点，求
【方法技巧】
本题考查空间线段长度计算，建立空间直角坐标系，将长度计算转化为坐标计算，难度较
易.已知 ，所以 .
【变式训练】
【变式】．已知正方体的棱长为 2，如图建立空间直角坐标系，
（1）求正方体各顶点的坐标；
（2）求
A
1
C
的长度．
考点 2：点到直线的距离
例2.（2022 辽宁省大连市三模）如图，在正三棱柱 中，若 ，
，则点 到直线 的距离为___________.
【方法技巧】
若 Q 为直线 外的一点, 在直线 上， 为直线 的方向向量， = ，则点 Q 到直线
距离为
【变式训练】
【变式】．设 为矩形 所在平面外的一点，直线 平面 ， ，
，.求点 到直线 的距离.
考点 3：点到平面的距离
例 3：（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝
1，AB＝2，点 E是棱 AB 的中点，则点 E到平面 ACD1的距离为（）
A．B．C．D．
【方法技巧】
若点 P为平面 外一点，点 M为平面 内任一点，平面 的法向量为 ，则 P到平面
的距离就等于 在法向量 方向上的投影的绝对值.
即
【变式训练】
【变式】．如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到
的，其中 . 求点 到平面 的距离.
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