《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》1.3 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）

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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间直角坐标系；空间中点的坐标公式；空间两
点间的距离；空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示；空间中垂直的坐标表示；
空间向量夹角的余弦表示
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一、空间直角坐标系中的坐标：
在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 对 空 间 任 一 点 ， 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组
，使
⃗
OA=
⃗
xi+
⃗
yi+
⃗
zk
，有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标
系 中的坐标，记作 ， 叫横坐标， 叫纵坐标， 叫竖坐标。
注：①点 A（x,y,z）关于 x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点
关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。 ②在 y 轴上的点设为
(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)
二、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，
用 表示。空间中任一向量
⃗
a=x
⃗
i+y
⃗
j+z
⃗
k
=（x,y,z）
三、空间向量的直角坐标运算律：
①若 ， ，
则 ，
，
，
，
，
。
②若 ， ，
则 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点
的坐标。
③定比分点公式：若 ， ，
⃗
AP=λ
⃗
PB
，则点 P坐标
为
(x1+λx2
1+λ,y1+λy2
1+λ,z1+λz2
1+λ)
。推导：设 P（x,y,z）
则
(x−x1,y−y1, z−z1)=λ(x2−x , y2−y , z2−z)
,显 然 ， 当 P为AB 中 点 时 ，
④
Δ ABC 中A x， （ 1, y1, z1）, B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3)
，三角形重心 P 坐
标为
P(x1+x2+x3
3,y1+y2+y3
2,z1+z2+z3
2)
⑤ ΔABC 的五心：
内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。
⃗
AP=λ(
⃗
AB
|
⃗
AB|+
⃗
AC
|
⃗
AC|)
（单位向量）
外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。
|
⃗
PA|=|
⃗
PB|=|
⃗
PC|
垂心 P：高的交点：
⃗
PA⋅
⃗
PB=
⃗
PA⋅
⃗
PC=
⃗
PB⋅
⃗
PC
（移项，内积为 0，则垂
直）
重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）
AP=1
3(
⃗
AB+
⃗
AC )
中心：正三角形的所有心的合一。
四、模长公式：若 ， ，
则 ，
（5）夹角公式： 。
ΔABC 中①
⃗
AB⋅
⃗
AC>0
<=>A 为锐角②
⃗
AB⋅
⃗
AC<0
<=>A 为钝角，钝角 Δ
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