《2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册+第二册+第三册）》1.1空间向量及其运算（解析版）

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1.1 空间向量及其运算
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：空间向量的概念；空间向量及其加减运算；空间共线向量；空间
共面向量；数乘向量；向量的数量积
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
一. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 .
注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.
（2）向量具有平移不变性
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
二. 空间向量的运算.
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）.
; ; .
运算律：⑴加法交换律：
⃗a+b=b+a
⑵加法结合律：
(a+⃗
b)+c=a+(b+c)
⑶数乘分配律：
λ(a+b)=λ a+λ b
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则
三. 共线向量.
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向
量，
⃗a
平行于
⃗
b
，记作 .
奎屯
王新敞
考点讲解
（2）共线向量定理：空间任意两个向量
⃗a
、
⃗
b
（
⃗
b
≠
⃗
0
），
⃗a
//
⃗
b
存在实数 λ，使
⃗a
＝λ
⃗
b
.
（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>
<=>
（4）与 共线的单位向量为
四. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.
说明：空间任意的两向量都是共面的.
（2）共面向量定理：如果两个向量 不共线， 与向量 共面的条件是存在实数 使
.
（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>
<=>
五、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量 a
，
b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a
与b的夹角，记作〈a
，
b〉，其范围是[0，π]，若〈a
，
b〉＝，则称 a与b互相垂直，记作 a⊥b.
②非零向量 a
，
b的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a
，
b〉.
（2）空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
考点 1：空间向量的有关概念
例1．下列命题中正确的是（　　）
A．若 ， ，则 与 所在直线平行
B．向量 、 、 共面即它们所在直线共面
C．空间任意两个向量共面
D．若 ，则存在唯一的实数 λ，使
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间向量的相关观念逐一判断即可.
【详解】
对于 A，若 ， ，当 时 与 所在直线可以不平行，因此不正确；
对于 B，向量 、 、 共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；
对于 C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；
对于 D，若 且 ，则存在唯一的实数 λ，使 ，因此不正确．
故选：C．
【方法技巧】
1.严格遵照空间向量的相关概念
2.利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性．
【变式训练】
【变式 1】．已知 为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　）
A．与 共面的单位向量有无数个
B．与 垂直的单位向量有无数个
C．与 平行的单位向量只有一个
D．与 同向的单位向量只有一个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性．
【详解】
解：与 共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故 A正确；
与 垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故 B正确；
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