《2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）》专项05 一线三等角模型的综合应用（解析版）

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专项 05 一线三等角模型的综合应用
模型一 一线三垂直全等模型
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型二 一线三等角全等模型
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
C
D
E
B
A
图一 图二
应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【类型一：标准“K”型图】
【典例 1】在△ABC 中，∠ ACB ＝90° ，AC＝BC，直 线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于
D，BE⊥MN 于E．
（1）当直线 MN 绕点 C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线 MN 绕点 C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线 MN 绕点 C旋转到图（3）的位置时，请直接写出 DE，AD，BE 之间的等
量关系．
【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC 和△CEB 中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC 和△CEB 中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）当 MN 旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE 所满足的等量关系是：DE＝BE
﹣AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC 和△CEB 中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【变式 1-1】如图，∠BAC＝90°，AD 是∠BAC 内部一条射线，若 AB＝AC，BE⊥AD 于点
E，CF⊥AD 于点 F．
求证：△ABE≌△CAF．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF+∠BAE＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠CFA＝∠BEA＝90°，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
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