《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题12平面解析几何必考题型分类训练（原卷版）

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专题 12 平面解析几何必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．选择题（共 2小题）

1．（2020•上海）已知椭圆 +y2＝1，作垂直于 x轴的垂线交椭圆于 A、B两点，作垂直于 y轴的垂线交

椭圆于 C、D两点，且 AB＝CD，两垂线相交于点 P，则点 P的轨迹是（　　）

A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线

2．（2022•上海）设集合 Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}

①存在直线 l，使得集合 Ω中不存在点在 l上，而存在点在 l两侧；

②存在直线 l，使得集合 Ω中存在无数点在 l上；（　　）

A．①成立②成立 B．①成立②不成立

C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立

二．填空题（共 9小题）

3．（2022•上海）双曲线 ﹣y2＝1的实轴长为　　．

4．（2021•上海）若 x2+y22﹣x4﹣y＝0，求圆心坐标为　　．

5．（2022•上海）若关于 x，y的方程组有无穷多解，则实数 m的值为　　．

6．（2021•上海）直线 x＝﹣2与直线 x﹣y+1＝0的夹角为　　．

7．（2020•上海）已知直线 l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若 l1∥l2，则 l1与l2的距离为　　．

8．（2021•上海）已知抛物线 y2＝2px（p＞0），若第一象限的 A，B在抛物线上，焦点为 F，|AF|＝2，|

BF|＝4，|AB|＝3，求直线 AB 的斜率为　　．

9．（2020•上海）已知椭圆 C：+＝1的右焦点为 F，直线 l经过椭圆右焦点 F，交椭圆 C于P、Q两

点（点 P在第二象限），若点 Q关于 x轴对称点为 Q′，且满足 PQ⊥FQ′，求直线 l的方程是　　．

10．（2021•上海）已知椭圆 x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦点为 F1、F2，以 O为顶点，F2为焦点作抛

物线交椭圆于 P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是　　．

11．（2022•上海）已知 P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线 Γ： ﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若

x1x2＞y1y2恒成立，则实数 a的取值范围为　　．

三．解答题（共 6小题）

12．（2021•上海）（1）团队在 O点西侧、东侧 20 千米处设有 A、B两站点，测量距离发现一点 P满足|

PA| |﹣PB|＝20 千米，可知 P在A、B为焦点的双曲线上，以 O点为原点，东侧为 x轴正半轴，北侧为 y

轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东 60°处，求双曲线标准方程和 P点坐标．

（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 C、D两站点，测量距离发现|QA| |﹣QB|＝30 千米，|QC| |﹣QD|

＝10 千米，求|OQ|（精确到 1米）和 Q点位置（精确到 1米，1°）

13．（2022•上海）设有椭圆方程 Γ：+＝1（a＞b＞0），直线 l：x+y4﹣＝0，Γ下端点为 A，M

在l上，左、右焦点分别为 F1（﹣ ，0）、F2（，0）．

（1）a＝2，AM 中点在 x轴上，求点 M的坐标；

（2）直线 l与y轴交于 B，直线 AM 经过右焦点 F2，在△ABM 中有一内角余弦值为，求 b；

（3）在椭圆 Γ上存在一点 P到l距离为 d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随 a的变化，求 d的最小值．

14．（2022•上海）已知椭圆 Γ：+y2＝1（a＞1），A、B两点分别为 Γ的左顶点、下顶点，C、D两点

均在直线 l：x＝a上，且 C在第一象限．

（1）设 F是椭圆 Γ的右焦点，且∠AFB＝，求 Γ的标准方程；

（2）若 C、D两点纵坐标分别为 2、1，请判断直线 AD 与直线 BC 的交点是否在椭圆 Γ上，并说明理由；

（3）设直线 AD、BC 分别交椭圆 Γ于点 P、点 Q，若 P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值．

15．（2021•上海）已知 Γ：+y2＝1，F1，F2是其左、右焦点，直线 l过点 P（m，0）（m≤﹣），交

椭圆于 A，B两点，且 A，B在x轴上方，点 A在线段 BP 上．

（1）若 B是上顶点，| |＝| |，求 m的值；

（2）若 • ＝，且原点 O到直线 l的距离为，求直线 l的方程；

（3）证明：对于任意 m＜﹣ ，使得 ∥ 的直线有且仅有一条．

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