《2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）》专题12平面解析几何必考题型分类训练（解析版）

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专题 12 平面解析几何必考题型分类训练

【三年高考真题练】

一．选择题（共 2小题）

1．（2020•上海）已知椭圆 +y2＝1，作垂直于 x轴的垂线交椭圆于 A、B两点，作垂直于 y轴的垂线交

椭圆于 C、D两点，且 AB＝CD，两垂线相交于点 P，则点 P的轨迹是（　　）

A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线

【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可．

【解答】解：∵AB≤2，∴CD≤2，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，

设A（m，t），D（t，n），

所以 P（m，n），

因为，，消去 t可得：2n2﹣，

故选：B．

【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．

2．（2022•上海）设集合 Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}

①存在直线 l，使得集合 Ω中不存在点在 l上，而存在点在 l两侧；

②存在直线 l，使得集合 Ω中存在无数点在 l上；（　　）

A．①成立②成立 B．①成立②不成立

C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立

【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．

【解答】解：当 k＝0时，集合 Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，

当k＞0时，集合 Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，

表示圆心为（k，k2），半径为 r＝2的圆，

圆的圆心在直线 y＝x2上，半径 r＝f（k）＝2单调递增，

相邻两个圆的圆心距 d＝＝，相邻两个圆的半径之和为 l＝2

+2 ，

因为 d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，

当k＜0时，同 k＞0的情况，故存在直线 l，使得集合 Ω中不存在点在 l上，而存在点在 l两侧，故①正确，

若直线 l斜率不存在，显然不成立，

设直线 l：y＝mx+n，若考虑直线 l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，

d＝，r＝，

给定 m，n，当 k足够大时，均有 d＞r，

故直线 l只与有限个圆相交，②错误．

故选：B．

【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．

二．填空题（共 9小题）

3．（2022•上海）双曲线 ﹣y2＝1的实轴长为　 6 　．

【分析】根据双曲线的性质可得 a＝3，实轴长为 2a＝6．

【解答】解：由双曲线 ﹣y2＝1，可知：a＝3，

所以双曲线的实轴长 2a＝6．

故答案为：6．

【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题．

4．（2021•上海）若 x2+y22﹣x4﹣y＝0，求圆心坐标为　（ 1 ， 2 ）　．

【分析】将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．

【解答】解：由 x2+y22﹣x4﹣y＝0，可得圆的标准方程为（x1﹣）2+（y2﹣）2＝5，

所以圆心坐标为（1，2）．

故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．

5．（2022•上海）若关于 x，y的方程组有无穷多解，则实数 m的值为　 4 　．

【分析】根据题意，分析可得直线 x+my＝2和mx+16y＝8平行，由此求出 m的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，若关于 x，y的方程组有无穷多解，

则直线 x+my＝2和mx+16y＝8重合，则有 1×16＝m×m，即 m2＝16，解可得 m＝±4，

当m＝4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意，

当m＝﹣4时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，

故m＝4．

故答案为：4

【点评】本题考查直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题．

6．（2021•上海）直线 x＝﹣2与直线 x﹣y+1＝0的夹角为　　．

【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

【解答】解：∵直线 x＝﹣2的斜率不存在，倾斜角为，

直线 x﹣y+1＝0的斜率为，倾斜角为，

故直线 x＝﹣2与直线 x﹣y+1＝0的夹角为 ﹣ ＝，

故答案为：．

【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．

7．（2020•上海）已知直线 l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，若 l1∥l2，则 l1与l2的距离为　　．

【分析】由l1∥l2求得 a的值，再根据两平行线间的距离计算即可．

【解答】解：直线 l1：x+ay＝1，l2：ax+y＝1，

当l1∥l2时，a21﹣＝0，解得 a＝±1；

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